搜搜考试网已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且满足an+1=3Sn，n∈N*．数列{bn}满足bn=log4an．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/28 22:39:43
已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且满足an+1=3Sn，n∈N*．数列{bn}满足bn=log4an．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）当n≥2时，试比较b1+b2+…+bn与
(n−1)
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）当n≥2时，试比较b1+b2+…+bn与
| 1 |
| 2 |
（I）由an+1=3Sn（1），得an+2=3Sn+1（2），
由（2）-（1）得an+1-an+1=3an+1，
整理，得
an+2
an+1＝4，n∈N*．
所以，数列a2，a3，a4，…，an，是以4为公比的等比数列．
其中，a2=3S1=3a1=3，
所以an＝
1n＝1
3•4n−2n≥2，n∈N*；
（II）由题意，bn＝
0n＝1
log43+(n−2)n≥2，n∈N*．
当n≥2时，b1+b2+b3+…+bn
=0+（log43+0）+（log43+1）+…+（log43+n-2）
=(n−1)log43+
1
2(n−2)(n−1)
=
n−1
2[2log43−1+(n−1)]
=
n−1
2[log4
9
4+(n−1)]＞
(n−1)2
2，
所以b1+b2+b3++bn＞
(n−1)2
2．
由（2）-（1）得an+1-an+1=3an+1，
整理，得
an+2
an+1＝4，n∈N*．
所以，数列a2，a3，a4，…，an，是以4为公比的等比数列．
其中，a2=3S1=3a1=3，
所以an＝
1n＝1
3•4n−2n≥2，n∈N*；
（II）由题意，bn＝
0n＝1
log43+(n−2)n≥2，n∈N*．
当n≥2时，b1+b2+b3+…+bn
=0+（log43+0）+（log43+1）+…+（log43+n-2）
=(n−1)log43+
1
2(n−2)(n−1)
=
n−1
2[2log43−1+(n−1)]
=
n−1
2[log4
9
4+(n−1)]＞
(n−1)2
2，
所以b1+b2+b3++bn＞
(n−1)2
2．
已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且满足an+1=3Sn，n∈N*．数列{bn}满足bn=log4an．
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