如图,平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC,O为原点,点a,c分别在x轴,y轴上,点b坐标为（m,根号2）（其中m>0）

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/09 12:30:22

如图,平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC,O为原点,点a,c分别在x轴,y轴上,点b坐标为（m,根号2）（其中m>0）,在bc边上选取适当的点E和点F,将△OCE沿OE翻折,得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折,恰好使点B与点G重合,得到△AGF,且∠OGA=90°
（1）求m的值；
（2）求过点O,G,A的抛物线的解析式和对称轴；
（3）在抛物线上是否存在P,是△OPG是等腰三角形,直接写出
（3）在抛物线上是否存在点P使△OPG是等腰三角形?直接写出
如图：

（1）根据折叠的性质可知：AB=AG=OG=根号2 ,而OA=BC=m,那么在直角三角形OGA中即可用勾股定理求出m的值．
（2）由于△OGA是个等腰直角三角形,已知了OA的长,因此不难求出G点的坐标,根据O,A,G三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当OP=PG,那么P点为OG的垂直平分线与抛物线对称轴的交点．因此P与H重合,P点坐标为（1,0）
②当OP=OG,那么△OPG为等腰直角三角形因此GH=PH=1,P点坐标为（1,-1）．
③当GP=OG时,GP=根号2 ,因此P点的坐标为（1,1+根号2 ）,（1,1- 根号2）．（在G点上下各有一点）
（1）解法一：∵B（m,根号2 ）,
由题意可知AG=AB=根号2 ,OG=OC=根号2 ,OA=m（2分）
∵∠OGA=90°,
∴OG2+AG2=OA2
∴2+2=m^2．
又∵m＞0,
∴m=2．
解法二：∵B（m,根号2 ）,
由题意可知AG=AB=根号2 ,OG=OC=根号2 ,OA=m
∵∠OGA=90°,
∴∠GOA=∠GAO=45°
∴m=OA= =2．
（2）解法一：过G作直线GH⊥x轴于H,
则OH=1,HG=1,故G（1,1）．
又由（1）知A（2,0）,
设过O,G,A三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线过原点,
∴c=0．
又∵抛物线过G,A两点,
∴ a+b=1
4a=2b=0
解得 a=-1 b=2
∴所求抛物线为y=-x2+2x,
它的对称轴为x=1．
解法二：过G作直线GH⊥x轴于H,
则OH=1,HG=1,故G（1,1）．
又由（1）知A（2,0）,
∴点A,O关于直线l对称,
∴点G为抛物线的顶点．
于是可设过O,G,A三点的抛物线解析式为y=a（x-1）^2+1,
∵抛物线过点O（0,0）,
∴0=a（0-1）2+1,
解得a=-1,
∴所求抛物线为y=（-1）（x-1)^2+1=-x2+2x
它的对称轴为x=1．
（3）答：存在
满足条件的点P有（1,0）,（1,-1）,（1,1-根号2 ）,（1,1+根号2 ）．