跟三角形四心有关的题,急啊
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/27 10:08:18
跟三角形四心有关的题,急啊
三角形ABC的内心为I,外心为O,其内切圆半径为r,外接圆半径为R,连结AI并延长,交圆O于D.求证;1.AI*ID=2Rr;2.OI的平方=R的平方-2Rr
三角形ABC的内心为I,外心为O,其内切圆半径为r,外接圆半径为R,连结AI并延长,交圆O于D.求证;1.AI*ID=2Rr;2.OI的平方=R的平方-2Rr
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1)原式2R:ID=AI:r
而ID是等于BD的(由三角形DBI的两个底角相等很容易看出)
那么上式2R:BD=AI:r
连DO并延长和外接圆交于E,设I向AB做垂线的垂足为F,由三角形EDB相似于三角形AIF就可以得到
DE:BD=AI:IF,也就是2R:BD=AI:r,所以原式得证
2)双向延长OI交外接圆于G和H,AI*ID=GI*HI=(R+OI)*(R-OI)=R^2-OI^2
再把第一问结论代进去就有了2Rr=R^2-OI^2,ok了
而ID是等于BD的(由三角形DBI的两个底角相等很容易看出)
那么上式2R:BD=AI:r
连DO并延长和外接圆交于E,设I向AB做垂线的垂足为F,由三角形EDB相似于三角形AIF就可以得到
DE:BD=AI:IF,也就是2R:BD=AI:r,所以原式得证
2)双向延长OI交外接圆于G和H,AI*ID=GI*HI=(R+OI)*(R-OI)=R^2-OI^2
再把第一问结论代进去就有了2Rr=R^2-OI^2,ok了