设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为( )
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/27 06:32:33
设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为( )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 1
A. 0
B. 2
C. 4
D. 1
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由f(x)=ax3-3x+1,
可得f′(x)=3ax2-3,
(1)当a≤0时,3ax2-3<0,
函数f(x)是减函数,
f(x)min=f(1)=a-2≥0,
解得a≥2,与已知矛盾;
(2)当a>0时,令f′(x)=0,可得x=±
a
a,
①当x<-
a
a时,f′(x)>0,f(x)为递增函数,
②当-
a
a<x<
a
a时,f′(x)<0,f(x)为递减函数,
③当x>
a
a时,f(x)为递增函数;
所以f(
a
a)≥0,f(-1)≥0,且f(1)≥0,
由f(
a
a)≥0,解得a≥4,
由f(-1)≥0,解得a≤4,
由f(1)≥0解得2≤a≤4,
综上,可得a=4.
故选:C.
可得f′(x)=3ax2-3,
(1)当a≤0时,3ax2-3<0,
函数f(x)是减函数,
f(x)min=f(1)=a-2≥0,
解得a≥2,与已知矛盾;
(2)当a>0时,令f′(x)=0,可得x=±
a
a,
①当x<-
a
a时,f′(x)>0,f(x)为递增函数,
②当-
a
a<x<
a
a时,f′(x)<0,f(x)为递减函数,
③当x>
a
a时,f(x)为递增函数;
所以f(
a
a)≥0,f(-1)≥0,且f(1)≥0,
由f(
a
a)≥0,解得a≥4,
由f(-1)≥0,解得a≤4,
由f(1)≥0解得2≤a≤4,
综上,可得a=4.
故选:C.
设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为( )
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