如图所示,△DEF是正三角形,且AD=BE=CF,试判断△ABC是正三角形吗?若是,请予以证明;若不是,请说明理由.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/11 17:39:20
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如图所示,△DEF是正三角形,且AD=BE=CF,试判断△ABC是正三角形吗?若是,请予以证明;若不是,请说明理由.
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证明:假设△ABC不等边,不妨设∠A>60°>∠B
那么有:
∠AED=180°-∠A-∠ADE
=180°-∠A-(120°-∠BDF)
=60°-∠A+∠BDF
因为60°<∠A,所以∠BDF>∠AED
∠ADE=120°-∠BDF
=120°-(180°-∠B-∠BFD)
=∠B-60°+∠BFD
因为∠B<60°,所以∠BFD>∠ADE
根据正弦定理:
BF/DF=sin∠BDF/sinB;
AD/DE=sin∠AED/sinA;
∵BF=AD,DF=DE,
∴sin∠BDF/sinB=sin∠AED/sinA
∵∠A>∠B,DE=DF
∴sin∠AED>sin∠BDF,而∠BDF>∠AED,
所以∠BDF>∠AED>90°,且∠ADE<∠BFD<30°
根据余弦定理:则有BD>AE
设DE=DF=FE=a,AD=BF=CE=b,因为∠BDF>∠AED>90°,所以钝角边大于锐角边
即AD>DE,BD>DF,b>a,
因为∠BDF>∠AED>90°,所以cos∠BDF<cos∠AED根据余弦定理
cos∠BDF=(BD²+a²-b²)/2aBD=BD/2a+(a²-b²)/2aBD
cos∠AED=(AE²+a²-b²)/2aAE=AE/2a+(a²-b²)/2aAE
即BD/2a+(a²-b²)/2aBD<AE/2a+(a²-b²)/2aAE
即BD-AE<(a²-b²)(1/AE-1/BD)=(a²-b²)(BD-AE)/(AE×BD)
由于BD>AE,
因此(a²-b²)/(AE×BD)>1
可是b>a,a²-b²<0,AE×BD>0,所以显然不成立
所以假设不成立
△ABC是正三角形.
那么有:
∠AED=180°-∠A-∠ADE
=180°-∠A-(120°-∠BDF)
=60°-∠A+∠BDF
因为60°<∠A,所以∠BDF>∠AED
∠ADE=120°-∠BDF
=120°-(180°-∠B-∠BFD)
=∠B-60°+∠BFD
因为∠B<60°,所以∠BFD>∠ADE
根据正弦定理:
BF/DF=sin∠BDF/sinB;
AD/DE=sin∠AED/sinA;
∵BF=AD,DF=DE,
∴sin∠BDF/sinB=sin∠AED/sinA
∵∠A>∠B,DE=DF
∴sin∠AED>sin∠BDF,而∠BDF>∠AED,
所以∠BDF>∠AED>90°,且∠ADE<∠BFD<30°
根据余弦定理:则有BD>AE
设DE=DF=FE=a,AD=BF=CE=b,因为∠BDF>∠AED>90°,所以钝角边大于锐角边
即AD>DE,BD>DF,b>a,
因为∠BDF>∠AED>90°,所以cos∠BDF<cos∠AED根据余弦定理
cos∠BDF=(BD²+a²-b²)/2aBD=BD/2a+(a²-b²)/2aBD
cos∠AED=(AE²+a²-b²)/2aAE=AE/2a+(a²-b²)/2aAE
即BD/2a+(a²-b²)/2aBD<AE/2a+(a²-b²)/2aAE
即BD-AE<(a²-b²)(1/AE-1/BD)=(a²-b²)(BD-AE)/(AE×BD)
由于BD>AE,
因此(a²-b²)/(AE×BD)>1
可是b>a,a²-b²<0,AE×BD>0,所以显然不成立
所以假设不成立
△ABC是正三角形.
如图所示,△DEF是正三角形,且AD=BE=CF,试判断△ABC是正三角形吗?若是,请予以证明;若不是,请说明理由.
,△DEF为正三角形,D,E,F分别为边AB,BC,CA上的点,且AD=BE=CF求证△ABC是正三角形
BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF,请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请说明你判断的理由.
如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请说明你判断的理由.
如图,△DEF是正三角形,AD=BF=EC,求证:△ABC是正三角形.
如图,已知BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,且BE=CF,请判断AD是△ABC的中线还是角平分线,并说明理由.
如图,△ABC是等边三角形,且AD=BE=CF,那么△DEF是等边三角形吗?并说明理由
如图,已知AE交BC于点D,BE⊥AE,CF⊥AE,且BE=CF,请你判断AD是△ABC的中线,还是角平分线?请说明理由
△ABC是等边三角形,且AD=BE=CF,那么△DEF是等边三角形吗?
一道几何题目的证明.三角形DEF是画正三角形,AD=BF=EC,证三角形ABC是正三角形
如图,三角形DEF是正三角形 AD=BF=EC 求证三角形ABC是正三角形
三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形A