一道多元复合函数求导问题………………
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/05 14:38:40
一道多元复合函数求导问题………………
在方程如下图,其中函数u具有二阶连续偏导数,令{ζ=x-y,η=x+y},求u以ζ,η为自变量的新方程.
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/16/e16f558da77b4b09c2a66b6c254384a8.jpg)
在方程如下图,其中函数u具有二阶连续偏导数,令{ζ=x-y,η=x+y},求u以ζ,η为自变量的新方程.
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/16/e16f558da77b4b09c2a66b6c254384a8.jpg)
![一道多元复合函数求导问题………………](/uploads/image/z/3840772-4-2.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%A4%9A%E5%85%83%E5%A4%8D%E5%90%88%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%B1%82%E5%AF%BC%E9%97%AE%E9%A2%98%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6)
链式法则,毫无技术含量的纯体力活展开就好了,这应该是某个偏微分方程课里的小题吧?
偏u/偏x = 偏u/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏u/偏η 偏η/偏x
注意 偏ζ/偏x = 1 偏η/偏x = 1
所以 偏u/偏x = 偏u/偏ζ+偏u/偏η
偏2u/偏x2= 偏(偏u/偏ζ + 偏u/偏η)/偏x=偏(偏u/偏ζ )/偏x + 偏(偏u/偏η)/偏x
注意把 偏u/偏ζ 看成一个整体,再用一次
偏(偏u/偏ζ )/偏x = 偏(偏u/偏ζ )/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏(偏u/偏ζ )/偏η 偏η/偏x
=偏(偏u/偏ζ )/偏ζ+ 偏(偏u/偏ζ )/偏η = 偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η
同样的
偏(偏u/偏η)/偏x= 偏(偏u/偏η )/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏(偏u/偏η )/偏η 偏η/偏x
=偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
带回去,得到
偏2u/偏x2 = 偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
= 偏2u/偏ζ2+2偏2u/偏ζ偏η+偏2u/偏η2
类似的
偏u/偏y = 偏u/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏u/偏η 偏η/偏y
注意 偏ζ/偏y = -1 偏η/偏y = 1
所以 偏u/偏y = -偏u/偏ζ+偏u/偏η
偏2u/偏y2= 偏(-偏u/偏ζ + 偏u/偏η)/偏y=-偏(偏u/偏ζ )/偏y + 偏(偏u/偏η)/偏y
偏(偏u/偏ζ )/偏y = 偏(偏u/偏ζ )/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏(偏u/偏ζ )/偏η 偏η/偏y
=-偏(偏u/偏ζ )/偏ζ+ 偏(偏u/偏ζ )/偏η =-偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η
同样的
偏(偏u/偏η)/偏y= 偏(偏u/偏η )/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏(偏u/偏η )/偏η 偏η/偏y
=-偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
带回去,得到
偏2u/偏y2 = -(-偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η) + (-偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2)
= 偏2u/偏ζ2-2偏2u/偏ζ偏η+偏2u/偏η2
所以 偏2u/偏x2 - 偏2u/偏y2 = 4偏2u/偏ζ偏η
所以 偏2u/偏x2 - 偏2u/偏y2 =0 等价于 偏2u/偏ζ偏η = 0
没有任何技巧,有耐心一步一步展开就好了
偏u/偏x = 偏u/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏u/偏η 偏η/偏x
注意 偏ζ/偏x = 1 偏η/偏x = 1
所以 偏u/偏x = 偏u/偏ζ+偏u/偏η
偏2u/偏x2= 偏(偏u/偏ζ + 偏u/偏η)/偏x=偏(偏u/偏ζ )/偏x + 偏(偏u/偏η)/偏x
注意把 偏u/偏ζ 看成一个整体,再用一次
偏(偏u/偏ζ )/偏x = 偏(偏u/偏ζ )/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏(偏u/偏ζ )/偏η 偏η/偏x
=偏(偏u/偏ζ )/偏ζ+ 偏(偏u/偏ζ )/偏η = 偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η
同样的
偏(偏u/偏η)/偏x= 偏(偏u/偏η )/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏(偏u/偏η )/偏η 偏η/偏x
=偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
带回去,得到
偏2u/偏x2 = 偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
= 偏2u/偏ζ2+2偏2u/偏ζ偏η+偏2u/偏η2
类似的
偏u/偏y = 偏u/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏u/偏η 偏η/偏y
注意 偏ζ/偏y = -1 偏η/偏y = 1
所以 偏u/偏y = -偏u/偏ζ+偏u/偏η
偏2u/偏y2= 偏(-偏u/偏ζ + 偏u/偏η)/偏y=-偏(偏u/偏ζ )/偏y + 偏(偏u/偏η)/偏y
偏(偏u/偏ζ )/偏y = 偏(偏u/偏ζ )/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏(偏u/偏ζ )/偏η 偏η/偏y
=-偏(偏u/偏ζ )/偏ζ+ 偏(偏u/偏ζ )/偏η =-偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η
同样的
偏(偏u/偏η)/偏y= 偏(偏u/偏η )/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏(偏u/偏η )/偏η 偏η/偏y
=-偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
带回去,得到
偏2u/偏y2 = -(-偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η) + (-偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2)
= 偏2u/偏ζ2-2偏2u/偏ζ偏η+偏2u/偏η2
所以 偏2u/偏x2 - 偏2u/偏y2 = 4偏2u/偏ζ偏η
所以 偏2u/偏x2 - 偏2u/偏y2 =0 等价于 偏2u/偏ζ偏η = 0
没有任何技巧,有耐心一步一步展开就好了