搜搜考试网请问一条关于线性代数的题目,如图,求过程,谢谢!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/01 10:47:22
请问一条关于线性代数的题目,如图,求过程,谢谢!
求上面的矩阵,麻烦各位了!
谢谢!
求上面的矩阵,麻烦各位了!
记 A=
[1/2 1 1]
[0 1/3 1]
[0 0 1/5],
特征值 λ=1/2,1/3,1/5.
必存在可逆矩阵P,使得 P^(-1)AP=D,
其中D为对角阵,对角元为 1/2,1/3,1/5.
得 A=PDP^(-1).
A^n = PDP^(-1)PDP^(-1)PDP^(-1).PDP^(-1)=P(D^n)P^(-1).
因 limD^n =O 是零矩阵,
则 limA^n =O 也是零矩阵.
再问： 请问 limD^n =O 是零矩阵?
再答： 对角阵的n次方，是各对角元的n次方组成的对角阵，
每个对角元都小于1，无穷大次方均为零。故是零矩阵，
再问： 还想请问一句,为什么不能直接说limA^n =O 是零矩阵而要引入 P^(-1)AP=D?
再答： 因为 A矩阵不是对角阵，直接n次方无法计算。
[1/2 1 1]
[0 1/3 1]
[0 0 1/5],
特征值 λ=1/2,1/3,1/5.
必存在可逆矩阵P,使得 P^(-1)AP=D,
其中D为对角阵,对角元为 1/2,1/3,1/5.
得 A=PDP^(-1).
A^n = PDP^(-1)PDP^(-1)PDP^(-1).PDP^(-1)=P(D^n)P^(-1).
因 limD^n =O 是零矩阵,
则 limA^n =O 也是零矩阵.
再问： 请问 limD^n =O 是零矩阵?
再答： 对角阵的n次方，是各对角元的n次方组成的对角阵，
每个对角元都小于1，无穷大次方均为零。故是零矩阵，
再问： 还想请问一句,为什么不能直接说limA^n =O 是零矩阵而要引入 P^(-1)AP=D?
再答： 因为 A矩阵不是对角阵，直接n次方无法计算。