设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/01 11:15:23

设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和.
求证：f(p)的最大值可以在p为某个顶点取到.
我郁闷啊.完全没思路啊..
要用向量来解.我目测是要用反证法来证明.

设A为定点,P1P2为一线段端点,Q为线段P1P2上的一点.设QP1/P2P1=L（标量）,则0<L<1,向量AQ=L*向量AP1+(1-L)*向量AP2,两边取模,由三角不等式,得如下不等式：|AQ|<=|L*AP1|+|(1-L)*AP2|=L*|AP1|+(1-L)*|AP2|.

这样推广一下,设有一组顶点A(1),...,A(n),同样地设线段P1P2和上面一点Q,设QP1/P2P1=L在0和1之间,则对任意i,有|A(i)Q|<=L*|A(i)P1|+(1-L)*|A(i)P2|.对i求和,得f(Q)<=L*f(P1)+(1-L)*f(P2).
这个式子的意义,就是说,对线段P1P2上的一点Q,f(Q)不可能同时大于f(P1)和f(P2).这个结论用反证法很好证明.有了这个式子,本命题就很好证明了.

上述的证明还没用到n边形的凸性,但是下面的证明就会用到了.

（1）若f(P)最大值的点P在内部,则A(1)P延长交至某边A(i)A(i+1)上的Q.因为n边形是凸的,因此上述操作可行,这点非常重要.因为P在线段A(1)Q上,所以f(P)不能同时大于f(A(1))和f(Q).同理地,f(Q)不能同时大于f(A(i))和f(A(i+1)).综合来说,f(P)不能同时大于f(A(1)),f(A(i))和f(A(i+1)),因此矛盾.
（2）若f(P)最大值在某边A(i)A(i+1)上,那自然有f(P)不能同时大于f(A(i))和f(A(i+1)),命题也自然得证.
所以,f(P)最大值一定可以在某顶点取到.

设P为给定的凸n边形内部或边上的点,设函数f(p)=p到所有顶点的距离之和. 1.已知正方形ABCD中,对角线AC=10CM,点P是AB边上的点,则点P到AC,BD的距离之和为_____. 如图,F是椭圆的右焦点,以F为圆心的圆过原点o和椭圆的右定点,设P是椭圆的动点,P到两焦点距离之和等于4 设P是三角形ABC所在平面外一点,P到三角形ABC各顶点的距离相等,且p到三角形ABC各边的距离相等. 设P是三角形ABC所在平面外一点,P到三角形ABC各顶点的距离相等,且p到三角形ABC各边的距离相等设P是抛物线Y^2=4x上的一个动点.求点P到点A（-1,1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值设P是曲线y2=4（x-1）上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是 ⊙ ___ ．已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为3倍根号2/2.设P为直线l上的点设抛物线y2=4x上一点P到该抛物线准线与直线l：4x-3y+6=0的距离之和为d，若d取到最小值，则点P的坐标为___ 在直角坐标系xoy中,点P到两点(0,-根号3),(0,根号3)的距离之和为4,设P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于设p为圆X平方+Y平方上的动点,则点P到直线3X-4Y-10=的距离的最小值为平面直角坐标系,点p到两点(0,负的根号3),(0,根号3)距离之和为4,设点P轨迹为C,设直线y=kx+1与C交于A,