数列{an}中，Sn-2an=2n．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/27 00:14:50

数列{a_n}中，S_n-2a_n=2n．
（1）求证{a_n-2}是等比数列；
（2）若a_n=b_n+1-b_n，b₁=3，求数列{b_n}的通项公式；
（3）若c_n=nb_n-2n²，求数列{c_n}的前n项和T_n．

（1）证明：∵S_n-2a_n=2n，①
∴S_n+1-2a_n+1=2（n+1）．②
②-①，得：a_n+1-2a_n+1+2a_n=2，
∴a_n+1=2a_n-2，
∴
an+1-2
an-2=
(2an-2)-2
an-2=2，
∴{a_n-2}是公比为2的等比数列．
（2） ∵S₁-2a₁=2，解得a₁=2，
∴an-2=(a1-2)•2n-1=-2ⁿ⁺¹，
∴an=2-2n+1 ，
∴bn+1-bn=2-2n+1，
∴当n≥2时，b2-b1=2-22，b3-b2=2-23，…，bn-bn-1=2-2n，
将以上格式相加得
bn-b1=2(n-1)-(22+23+…+2n)
=2n-2-
4(1-2n-1)
1-2
=2n+2-2ⁿ⁺¹．…（8分）
又b₁=3，∴bn=2n+5-2n+1，n≥2，
又b₁=3也满足上式，
∴bn=2n+5-2n+1．n∈N^*．…（9分）
（3） cn=nbn-2n2=5n-n•2ⁿ⁺¹，…（10分）
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=5（1+2+3+…+n）-（1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹）
设p_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
则2p_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，
-p_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=
4(1-2n)
1-2-n•2ⁿ⁺²
=（1-n）•2ⁿ⁺²-4．…（13分）
∴T_n=
5n(1+n)
2+(1-n)•2n+2-4．…（14分）

数列{an}中，Sn-2an=2n．在数列{an}中,an>0,2√Sn=an+1,n∈正整数, 已知数列an中,a1=2,前n项和sn,若sn=n^2an,求an 在数列{an}中,an=1/n(n+1)(n+2),求Sn的极限已知在数列an中,Sn=2n^2+3n,求证an是等差数列已知数列an中前n项和sn=2n^2+k 求通项an 已知数列{an}中,a2=2,前n项和为Sn,且Sn=n(an+1)/2证明数列{an+1-an}是等差数列已知数列an中 a1=-2且an+1=sn（n+1为下标）,求an,sn 数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．数列{an}中，前n项和Sn=2n-1，求证：{an}是等比数列．数列{an}的前n项为Sn，Sn=2an-3n（n∈N*）．已知数列{an}中,an=（2n+1）3n,求数列的前n项和Sn