搜搜考试网专家!请问一道有难度的几何证明题!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/14 11:56:19
专家!请问一道有难度的几何证明题!
在正方形abcd中 de=ec ,∠AEF=∠EAB 求fb=cf/2
我们还没学相似三角形 所以应该不是这两种解法 期待你的其他解法！谢谢 ！ 中位线学了
在正方形abcd中 de=ec ,∠AEF=∠EAB 求fb=cf/2
我们还没学相似三角形 所以应该不是这两种解法 期待你的其他解法！谢谢 ！ 中位线学了
证明：
分别延长AB、CD交于M,延长CD到N,使DN＝DE,连接AN
为计算方便,设正方形的边长为6X,BF＝Y,则DE＝DN＝CE＝3X
AE＝AN＝3√5*X
因为BM/CE＝BF/CF
所以BM/3X＝Y/（6X－Y）
所以BM＝3XY/（6X－Y）
所以AM＝3XY/（6X－Y）＋6X
因为∠AEF＝∠EAB＝∠AEN＝∠N
所以△MAE∽△AEN
所以AM/AE＝AE/EN
所以[3XY/（6X－Y）＋6X]/(3√5*X)＝(3√5*X)/6X
解得：Y＝2X
所以BF＝2X,CF＝6X－2X＝4X
所以CF＝2BF
另外一种解法,计算方便一点：
分别延长AB、CD交于M,作AG⊥EF
为计算方便,设正方形的边长为6P（P＞0）,BM＝X,则DE＝3P
因为∠AEF＝∠AED,∠D＝∠AGE＝90°,AE＝AE
所以△ADE≌△AGE
所以AG＝AD＝6P,EG＝DE＝3P
因为∠AEF＝∠AED＝∠EAM
所以AM＝EM＝6P＋X
所以MG＝EM－EG＝3P＋X
在三角形AGM中运用勾股定理得：AG^2＋MG^2＝AM^2
所以(6P)^2＋(3P＋X)^2＝(6P＋X)^2
解得：X＝3P/2
所以CF/BF＝CE/BM＝3P/（3P/2）＝2/1
所以CF＝2BF
（上面用的是代数计算的方法,应该有比较简单的几何证法,有了一定补充出来）
分别延长AB、CD交于M,延长CD到N,使DN＝DE,连接AN
为计算方便,设正方形的边长为6X,BF＝Y,则DE＝DN＝CE＝3X
AE＝AN＝3√5*X
因为BM/CE＝BF/CF
所以BM/3X＝Y/（6X－Y）
所以BM＝3XY/（6X－Y）
所以AM＝3XY/（6X－Y）＋6X
因为∠AEF＝∠EAB＝∠AEN＝∠N
所以△MAE∽△AEN
所以AM/AE＝AE/EN
所以[3XY/（6X－Y）＋6X]/(3√5*X)＝(3√5*X)/6X
解得：Y＝2X
所以BF＝2X,CF＝6X－2X＝4X
所以CF＝2BF
另外一种解法,计算方便一点：
分别延长AB、CD交于M,作AG⊥EF
为计算方便,设正方形的边长为6P（P＞0）,BM＝X,则DE＝3P
因为∠AEF＝∠AED,∠D＝∠AGE＝90°,AE＝AE
所以△ADE≌△AGE
所以AG＝AD＝6P,EG＝DE＝3P
因为∠AEF＝∠AED＝∠EAM
所以AM＝EM＝6P＋X
所以MG＝EM－EG＝3P＋X
在三角形AGM中运用勾股定理得：AG^2＋MG^2＝AM^2
所以(6P)^2＋(3P＋X)^2＝(6P＋X)^2
解得：X＝3P/2
所以CF/BF＝CE/BM＝3P/（3P/2）＝2/1
所以CF＝2BF
（上面用的是代数计算的方法,应该有比较简单的几何证法,有了一定补充出来）