圆锥曲线的一道题在平面直角坐标系xoy.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>=1)的离心率√ 3/

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/28 09:03:40

圆锥曲线的一道题
在平面直角坐标系xoy.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>=1)的离心率√ 3/2,且椭圆上的一点N到Q（0,3）的距离最大值为4,过点M（3,0）的直线交椭圆C于点A,B.
（1）求椭圆C的方程
（2）设P为椭圆上一点,且满足向量OA＋向量OB＝t倍的向量OP（O为原点）,当｜AB｜＜√ 3时求实数t的取值范围

记,椭圆与Y轴交点,上边为P1,下边为P2.
(1)由离心率=√ 3/2,可以得到c:a=√ 3/2,又b^2+c^2=a^2,得到a=2b.因为Q在Y轴上,所以到Q最大距离值为P2M的距离为P2M=3-(-b)=4,所以b=1.a=2.,得到椭圆方程,x^2/4+y^2=1
（2）第二问我做了一下,把大概思路写下来吧.计算太复杂了.具体的你看一下答案.
若直线AB斜率不存在,OA+OB=0向量,不可能满足题设条件.故设直线斜率为K.直线方程Y=K(X-3),带入椭圆方程.得到了一元二次方程,设两根分别为x1,x2.根据Δ>0,得到第一个关于k的不等式.解出k的范围.根据|AB|=√(1+k^2)*(X1-X2),于是得到如下关系式
（1+k^2）[(x1+x2)^2-4x1*x2]
再问：怎么知道到Q距离最大的点一定是P2？
再答：不好意思这么久才继续回答。首先假设Q在椭圆内或刚好在椭圆上，于是， Q到椭圆与Y负半轴交点P2之间距离L>=2*3=6>4, 所以Q点一定在椭圆外。即