已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 08:47:19

已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx
(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间
(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间求a的取值范围.
(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围.

(1)y=xlnx-2x y'=lnx+1-2=lnx-1 令y'=0 x=e 0=0在[1,+无穷）上恒成立 1/2ax^2+2x>=0 1/2ax^2>=-2x a>=-4/x 所以 a>=0
(3)lnx/x=ax+2-2a-1 lnx=ax^2-(1-2a)x ax^2+(1-2a)x-lnx=0 令F(x)= ax^2+(1-2a)x-lnx
F'(x)=2ax+1-2a-1/x 令F'(x)=0 x=2a-1/2a 因为x>0 所以2a>1 a>1/2
可知x=2a-1/2a是F(x)的极小值点若有且只有2个不相等的实数根只需 F（2a-1/2a）
再问：第二问似乎错了..
再答：错了么？我也看着不太对可能是某个地方看错了不过用变量分离应该没错..半个月没做生疏了你是高几学生？
再问：我高二的.你帮忙修改下咯.
再答： “若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 ”这个有歧义你是说在[1,+无穷]单调递增还是[1,+无穷]就是单调递增区间这里就有一个恒成立与能成立的区别原题是不是抄错了？
再问：前者 [1,+无穷]单调递增肯定是这个
再答：那就是恒成立你变量分离就行变量分离知道吗/ 把a分离出来然后看那边关于x的式子如果是大于号就求那式子的最大值小于号求最小值注意区间开闭即等号能否成立这个可以解决绝大部分恒成立问题这种题在高考前不知会练多少遍属于中档题高考一般不太考

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