平行线中心投影相交吗?要求数学证明

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/11 10:16:31

平行线中心投影相交吗?要求数学证明
建系：任取一点、两条平行线、一个投射面,以投射面为xOy面建立空间直角坐标系进行验证：得到：两平行线在xOy面上的射影的参数方程,由于分母不为零,会在两条射影上分别抠掉两个点,而这两个点重合,正是那个交点.
反证法：假设两射影相交,那么交点为两平行线交点的射影,因为平行线不想交,所以两射影不相交.
人教版数学B版必修二中说相交但没给证明,

1.正面思路：首先只看一条线段与投影中心的面,那么可以知道投影中心,原线段,成影的线段可以构成两个相似三角形,原线段与投影线段平行.那么同理另一条线段也与它的投影线段平行,所以由平行的传递性可知四条线都平行,即两投影线段平行不相交.多条平行线段的投影类似推广即可.
2.反证法就是：假设射影相交,那么因为原线段与其投影平行,但投影相交,得出原线段相交,矛盾,从而得投影平行.
3建系,就是又上面所给的方法给出投影各个点的解析式.由于分母不为〇可以去掉两个点.可以验证这两个点分别满足两参数方程,只是不满足分母不为零的条件.或者说两条线段都舍去同一个点,把它理解为交点的话,就是满足题设的交点不存在了.所以得出投影平行.
再问：正面思路、.反证法里，为什么原线段与投影线段平行？
再答：首先要纠正补充一下，如果原线段与投影成像的面平行，那么原线段与投影线段就平行；如果不平行，那么原线段与投影线段共面！共面是必然的共同性质，线面平行得出线线也可以由共面推出，这个面就是投影中心和原线段组成的平面。（直线外一点与直线可以构成唯一平面）1.如果投影面与原线段平行，上次的说法就没有问题。（除了上面的方法也可以由欧几里得几何得出：同一个面穿过两个平行的平面，两交线平行。其中一个平面是投影面，另一个是平面是穿过元线段且与投影面平行的平面。这个用反证法，或者两直线平行的定义（无交点），真的易证对吧~）2.一般情况，投影面与原线段不平行。反证法：假设两投影线不平行，有一个交点！那么由投影性质可以知道交点与投影中心连线上两原线段均通过。注意到两原线段平行，那么会有两个交点。此时可以得出这条连线在两原线段构成的平面上。于是投影线段在同一直线上，产生矛盾！所以投影没有交点或者在同一直线上。（文字比较难理解，跟着思路画图理解吧）
再问：其实我自己验算过，知道不相交，只是想问一下有没有相同观点的同胞们，我就是一名高一学生，觉得人教数学B版里写的有问题，只能说投影延长后相交，不能说投影相交。这是电子课本的链接 http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/gzsxb/dzkb/bx2/201009/t20100905_870128.htm ，能说数学书上写错了么？
再答：看了那段描述，书上描述的跟上面的证法不矛盾。上面是用严谨几何证明，投影实际是不相交的。我觉得书本上的那种中心投影与我们的问题不一样。我们眼睛所看到的东西是经过晶状体，或者凸透镜所成的像，而跟数学上的中心投影，数学上的中心投影可以理解成解析几何中的中心对称的一般。我想书上的描述确实有点问题，但他带出的是对空间几何的思考。我想不能完全说他错，但是不算严谨吧~

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