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设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,且当x>0时,f(x)>0

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 08:15:32
设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,且当x>0时,f(x)>0
1.求f(0)值
2.判断函数奇偶性
3.如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围
设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,且当x>0时,f(x)>0
1、
f(0 + 0) = f(0) + f(0)
f(0) = 2f(0)
f(0) = 0
2、
f[x + (-x)] = f(x) + f(-x)
f(0) = f(x) + f(-x)
0 = f(x) + f(-x)
f(-x) = -f(x)
根据定义,这个是奇函数
3、
因为f(x)解析式无法求出(是抽象函数),所以先求出f(x) = 2时的x值
f(1/3 + 1/3) = f(1/3) + f(1/3) = 1 + 1 = 2
f(2/3) = 2
f(x) + f(2+x) < 2
f[x + (2 + x)] < f(2/3)
f(2x + 2) < f(2/3)
要解上述不等式,需求出f(x)单调性
因为 当x>0时,f(x)>0,f(x)是奇函数,所以
当x < 0时,f(x)< 0
又假设 a > b > 0,
f(a + b) = f(a) + f(b)
因为 a + b > a ,b > 0,f(b) > 0,
所以f(a + b) > f(a)
所以f(x)在x>0时单调递增
又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在R上单调递增
上述不等式f(2x + 2) < f(2/3)
得 2x + 2 < 2/3
2x < -4/3
x < -2/3