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如图,四棱锥P-ABCD的底面是举行,PA⊥平面ABCD,EF分别是AB,PD的中点,二面角P-CD-B的大小为45°,

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/13 04:26:53
如图,四棱锥P-ABCD的底面是举行,PA⊥平面ABCD,EF分别是AB,PD的中点,二面角P-CD-B的大小为45°,求证:平面PEC⊥平面PCD
如图,四棱锥P-ABCD的底面是举行,PA⊥平面ABCD,EF分别是AB,PD的中点,二面角P-CD-B的大小为45°,
证明:∵PA⊥面ABCD,ABCD为矩形
∴PA⊥CD,AD⊥CD,
∴CD⊥面ADP,AD为PD在面ABC内的射影
∵DC⊥AD,∴DC⊥BD,
∴∠ADP为二面角P-CD-B大小
又二面角P-CD-B的大小为45°
∴∠ADP=45°
取PC中点为H,连接FH,AF,EH
AE平行且等于1/2CD,FH平行且等于1/2CD
∴AE平行等于CD
AEFH为平行四边形
AF平行EH
又F为PD中点,∠PAD=90°,∠ADP=45°
∴AF⊥PD,---(1)
又AF在底面ABCD的射影在AD上,AD⊥DC,AF⊥DC ---(2)
∴AF⊥面PCD,(由(1)(2)知)
∴EH⊥面PCD
又EH在面PCE内,
∴平面PEC⊥平面PCD
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