（2012•金平区模拟）如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=8，过A作直线PQ，若∠PAC=∠ABC．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/07 07:01:49

（2012•金平区模拟）如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=8，过A作直线PQ，若∠PAC=∠ABC．
（1）求证：PQ是半圆O的切线；
（2）若点M从点C出发，沿线段CA向点A运动，N从点A出发，沿射线AP方向运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，点M运动到A即停止，设运动时间为t秒．
①设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△AMN的面积最大，最大值是多少？
②当△AMN为等腰三角形时，求运动时间t的值．

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠PAC=∠ABC（已知），
∴∠PAB=∠PAC+∠BAC=90°（等量代换），
∴PQ⊥AB，
∴PQ是半圆O的切线；

（2）①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，则∠ADN=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠ADN=∠ACB（等量代换）；
∵∠PAC=∠ABC，即∠NAD=∠ABC，
∴△NAD∽△ABC，
∴
ND
AC＝
NA
AB（相似三角形的对应边成比例），
∵AB=10，AC=8，AN=CM=t，
∴
ND
8＝
t
10，
∴ND=
4
5t，
∴S=
1
2×AM×ND=
1
2×(8−t)×
4
5t=−
2
5t2+
16
5t=−
2
5(t−4)2+
32
5，
∴当t=4时，△AMN的面积最大，最大值是
32
5；

②在Rt△ABC中，BC=
AB2−AC2=
102−82=6，
∴cos∠CBA=
BC
AB＝
3
5；
如图2，若MN=MA，作ME⊥AP，垂足为E，∴AE=
1
2AN＝
1
2t，
在Rt△AEN中，cos∠MAE=
AE
AM=cos∠CBA=
3
5，

∴

（2012•金平区模拟）如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=8，过A作直线PQ，若∠PAC=∠ABC．如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC．如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,过C作半圆的切线,连接AC,作直线AD,使∠DAC=∠CAB 如图,AB为半圆O的直径,点C在半圆O上,过点O作BC的平行线AC于点E,交过点A的直线于点D,且∠D=∠BAC.（2）（2002•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E． AB为半圆O的直径,点C在半圆O上,过点O作BC的平行线交AC于点E,交过点A的直线于点D,且∠D=∠BAC 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，F为垂足，交AC于点C使∠BED=∠C．请判断直线AC与圆如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．如图9-76,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过A点的直线,∠PAC=∠B （2013•高淳县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，cosA=45．以AB为直径作半圆，圆心为O，半圆分别交BC、A 如图,AB为圆o 的直径,p为半圆弧的中点,过p任作直线pq(pq与线段ab不相交),过a,b分别做pq的垂线,cd为垂（2014•潮安区模拟）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥BC于点E．