已知椭圆两焦点是F1(0,-1).F2(0,1) 离心率e=2分之1 求椭圆方程
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/28 22:10:33
已知椭圆两焦点是F1(0,-1).F2(0,1) 离心率e=2分之1 求椭圆方程
2,若P在椭圆上且|PF1|-|PF2|=1求cos角F1PF2
2,若P在椭圆上且|PF1|-|PF2|=1求cos角F1PF2
第一个问题:
∵椭圆的两焦点分别是(0,-1)、(0,1),∴可设椭圆的方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1.
∵e=c/a=√(a^2-b^2)/a=1/2,∴(a^2-b^2)/a^2=1/4,∴1-b^2/a^2=1/4,
∴b^2/a^2=3/4,∴b^2=(3/4)a^2.
显然,c=1,∴√(a^2-b^2)=1,∴a^2-b^2=1,∴a^2-(3/4)a^2=1,∴a^2=4,
∴b^2=3.
∴满足条件的椭圆方程是x^2/3+y^2/4=1.
第二个问题:
∵点P在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=1,
∴容易求出:|PF1|=5/2、|PF2|=3/2.
而|F1F2|=2c=2,∴由余弦定理,得:
cos∠F1PF2=(|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2)/(2|PF1||PF2|)
=(25/4+9/4-4)/[2×(5/2)×(3/2)]=(17/2-4)/(15/2)=(17-8)/15=3/5.
∵椭圆的两焦点分别是(0,-1)、(0,1),∴可设椭圆的方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1.
∵e=c/a=√(a^2-b^2)/a=1/2,∴(a^2-b^2)/a^2=1/4,∴1-b^2/a^2=1/4,
∴b^2/a^2=3/4,∴b^2=(3/4)a^2.
显然,c=1,∴√(a^2-b^2)=1,∴a^2-b^2=1,∴a^2-(3/4)a^2=1,∴a^2=4,
∴b^2=3.
∴满足条件的椭圆方程是x^2/3+y^2/4=1.
第二个问题:
∵点P在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=1,
∴容易求出:|PF1|=5/2、|PF2|=3/2.
而|F1F2|=2c=2,∴由余弦定理,得:
cos∠F1PF2=(|PF1|^2+|PF2|^2-|F1F2|^2)/(2|PF1||PF2|)
=(25/4+9/4-4)/[2×(5/2)×(3/2)]=(17/2-4)/(15/2)=(17-8)/15=3/5.
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