已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)【题干】
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 05:00:33
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)【题干】
1.若a>b>c,且f(1)=0,证明:f(x)的图像与x轴有2个交点;
2.若常数(X1,X2)∈R,且X1<X2,f(X1)≠f(X2),求证:方程f(x)=½[f(X1)+f(X2)]必有一根属于(X1,X2).
1.若a>b>c,且f(1)=0,证明:f(x)的图像与x轴有2个交点;
2.若常数(X1,X2)∈R,且X1<X2,f(X1)≠f(X2),求证:方程f(x)=½[f(X1)+f(X2)]必有一根属于(X1,X2).
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1、∵f(1)=0
∴a+b+c=0
∵a>b>c
∴a>0,c0
∴f(x)的图像与x轴有两个相异的交点
2、∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)<f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知,A1<A<A2.
构造函数g(x)=f(x)-A.(x1<x<x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A<0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A>0.
∴由“零点存在定理”可知,
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在(x1,x2)内必有一实数根.
∴a+b+c=0
∵a>b>c
∴a>0,c0
∴f(x)的图像与x轴有两个相异的交点
2、∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)<f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知,A1<A<A2.
构造函数g(x)=f(x)-A.(x1<x<x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A<0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A>0.
∴由“零点存在定理”可知,
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在(x1,x2)内必有一实数根.
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已知二次函数f(x)=ax²+bx+c.
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