关于有界性定理~设定义在〔a,b〕上的函数f(x)在(a,b)内连续,且f(x)在a点的右极限和f(x)在b点的左极限存
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/03 16:31:16
关于有界性定理~
设定义在〔a,b〕上的函数f(x)在(a,b)内连续,且f(x)在a点的右极限和f(x)在b点的左极限存在且有限.则f(x)在[a,b]上是否有界?是否能取得最值?
设定义在〔a,b〕上的函数f(x)在(a,b)内连续,且f(x)在a点的右极限和f(x)在b点的左极限存在且有限.则f(x)在[a,b]上是否有界?是否能取得最值?
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证:
(1)设f(x)在[a,b]内无界,将[a,b]分成两个小区间[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界,把这个无界的区域记为[a1,b1].再将之分成[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界.一直这样做下去.则[an,bn]都是无界的.因为这样分过后,则必然存在n,使
lim(n趋无穷)an=lim(n趋无穷)bn.从而 这与[an,bn]都是无界的矛盾.说明假设f(x)在[a,b]内无界是不正确的,也就证明了f(x)在[a,b]上是否有界.(有闭区间套定理来做)
(2)记R={f(x)|x在[a,b]},由(1)可知,他是有界的.记A=INF R,B=SUP R 则,任意x,有
f(x)>=A .同时也存在K>0使f(x)
(1)设f(x)在[a,b]内无界,将[a,b]分成两个小区间[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界,把这个无界的区域记为[a1,b1].再将之分成[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b]则f(x)至少在其中之一无界.一直这样做下去.则[an,bn]都是无界的.因为这样分过后,则必然存在n,使
lim(n趋无穷)an=lim(n趋无穷)bn.从而 这与[an,bn]都是无界的矛盾.说明假设f(x)在[a,b]内无界是不正确的,也就证明了f(x)在[a,b]上是否有界.(有闭区间套定理来做)
(2)记R={f(x)|x在[a,b]},由(1)可知,他是有界的.记A=INF R,B=SUP R 则,任意x,有
f(x)>=A .同时也存在K>0使f(x)
关于有界性定理~设定义在〔a,b〕上的函数f(x)在(a,b)内连续,且f(x)在a点的右极限和f(x)在b点的左极限存
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