关于一道三角函数的化简题
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/29 23:17:05
关于一道三角函数的化简题
化简该式
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/eb/eeb3e72320b0d9d74167bf6c195b4ec0.jpg)
化简该式
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/eb/eeb3e72320b0d9d74167bf6c195b4ec0.jpg)
![关于一道三角函数的化简题](/uploads/image/z/5041500-60-0.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E4%B8%80%E9%81%93%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%8C%96%E7%AE%80%E9%A2%98)
我们会用到公式:
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/a4/6a4f878aac56bcd3a1790e58a8c23eaa.jpg)
它们成立的条件是cosx/2与sinx/2本身是>=0的.
比如当x>=0,且<=pi.
首先我们对原来的式子作变形,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/51/e51e89a706aaa698f3ba956c2c84867b.jpg)
最外层根号的分子与分母都除以2,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/a3/9a3f884ff434359bf609fe54934abecf.jpg)
反复这样操作,最终得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b0/1b07b56a7c91263f9847840c771f3a40.jpg)
没有办法,我们只能把(cosa)/2写成cos(arcos(cos(a)/2))
然后由里到外,不断褪去根号:
第一步,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/6d/76da414d21fb864a781860d829da7496.jpg)
注意arccos取值为[0,pi],所以公式可用.
第二步,我们把sin用cos写出,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/09/7090d7400c316506898825fe757c0453.jpg)
再次褪去一层根号,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/9f/59f792fe2c67f7698bcfff3d6a9d196b.jpg)
公式仍然成立.
第三步,我们把sin用cos写出,再褪去根号,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/25/5258dd742a0ba48419f6f345bdb9431e.jpg)
第四步,我们得到最终结果:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/dd/7dd56fa3ce6ee872906af073ce7b34d2.jpg)
我们的想法,源于Viete的无穷乘积.
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/33/0332e5f5d794830ba5a1e9e6341e5bea.jpg)
Euler曾经对它有一个犀利的推广:
(1)
对(1)我们有几点说明:
如果在公式(1)中,代入x=pi/2,便得到Viete的公式,
这是因为
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/23/823c43aceb0c066ac7f02a7bed759512.jpg)
这就是我们方法的灵感来源.
2.如何推导(1),这是因为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/b1/3b19397e9b8a49a23b602cfb72aea5ee.jpg)
这是反复使用"半角公式"的结果,再取极限我们就能得到(1)
:)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/a4/6a4f878aac56bcd3a1790e58a8c23eaa.jpg)
它们成立的条件是cosx/2与sinx/2本身是>=0的.
比如当x>=0,且<=pi.
首先我们对原来的式子作变形,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/51/e51e89a706aaa698f3ba956c2c84867b.jpg)
最外层根号的分子与分母都除以2,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/a3/9a3f884ff434359bf609fe54934abecf.jpg)
反复这样操作,最终得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b0/1b07b56a7c91263f9847840c771f3a40.jpg)
没有办法,我们只能把(cosa)/2写成cos(arcos(cos(a)/2))
然后由里到外,不断褪去根号:
第一步,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/6d/76da414d21fb864a781860d829da7496.jpg)
注意arccos取值为[0,pi],所以公式可用.
第二步,我们把sin用cos写出,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/09/7090d7400c316506898825fe757c0453.jpg)
再次褪去一层根号,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/9f/59f792fe2c67f7698bcfff3d6a9d196b.jpg)
公式仍然成立.
第三步,我们把sin用cos写出,再褪去根号,得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/25/5258dd742a0ba48419f6f345bdb9431e.jpg)
第四步,我们得到最终结果:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/dd/7dd56fa3ce6ee872906af073ce7b34d2.jpg)
我们的想法,源于Viete的无穷乘积.
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/33/0332e5f5d794830ba5a1e9e6341e5bea.jpg)
Euler曾经对它有一个犀利的推广:
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/89/d894b7ec5509f10a1188c2fdb7dff8ba.jpg)
对(1)我们有几点说明:
如果在公式(1)中,代入x=pi/2,便得到Viete的公式,
这是因为
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/23/823c43aceb0c066ac7f02a7bed759512.jpg)
这就是我们方法的灵感来源.
2.如何推导(1),这是因为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/b1/3b19397e9b8a49a23b602cfb72aea5ee.jpg)
这是反复使用"半角公式"的结果,再取极限我们就能得到(1)
:)