（2012•黄冈模拟）已知函数f(x)＝x3−3x2+1，g(x)＝(x−12)2+1(x＞0)−(x+3)2+1(x≤

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/30 19:04:57

（2012•黄冈模拟）已知函数f(x)＝x

∵函数f(x)＝x3−3x2+1，g(x)＝

(x−
1
2)2+1(x＞0)
−(x+3)2+1(x≤0)，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（-∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=-3，且函数的值域为R．
由函数g（x）的图象可得，当x=-3或x=
1
2时，g（x）=1．
①当a=1时，若方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）=-3，此时方程有2个根，或f（x）=
1
2，此时方程有3个根，
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5个根．
②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）∈（-4，-3），此时方程有1个根，或f（x）∈（-3，-2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4个根．
③当a＞1时，方程g[f（x）]-a=0，则：f（x）∈（0，
1
2），或f（x）∈（
1
2，+∞），
方程可能有4个、5个或6个根．
故方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，
故选 A．

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