（2012•山东）已知函数f(x)＝lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/08/03 09:19:59

（2012•山东）已知函数f(x)＝

lnx+k

（I）函数f(x)＝
lnx+k
ex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），
∴f′(x)＝

1
x−lnx−k
ex=
1−xlnx−kx
xex，x∈（0，+∞），
由已知，f′(1)＝
1−k
e＝0，∴k=1．
（II）由（I）知，f′(x)＝

1
x−lnx−1
ex=
1−xlnx−x
xex，x∈（0，+∞），
设h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），h'（x）=-（lnx+2），
当x∈（0，e^-2）时，h'（x）＞0，当x∈（ e^-2，1）时，h'（x）＜0，
可得h（x）在x∈（0，e^-2）时是增函数，在x∈（ e^-2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，
又h（1）=0，h（e^-2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1
∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，
当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．
综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e^-2，故只需证明g（x）＜1+e^-2在0＜x＜1时成立．
当0＜x＜1时，e^x＞1，且g（x）＞0，∴g(x)＝
1−xlnx−x
ex＜1−xlnx−x．
设F（x）=1-xlnx-x，x∈（0，1），则F'（x）=-（lnx+2），
当x∈（0，e^-2）时，F'（x）＞0，当x∈（ e^-2，1）时，F'（x）＜0，
所以当x=e^-2时，F（x）取得最大值F（e^-2）=1+e^-2．
所以g（x）＜F（x）≤1+e^-2．
综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

（2012•山东）已知函数f(x)＝lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在已知函数f(x)=lnx+kex (k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数）, 已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828...是自然对数的底数)曲线y=f(x)在（1,f 已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x (k为常数,e=2.71828是自然对数的底数）.曲线y=f(x)在点（1,f (k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数）,曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线与x轴平行．已知函数f(x)=ax^2+x/e-lnx(其中a为常数,e为自然对数的底数）已知函数f(x)=ax^2+x/e-lnx(其中a为常数,e为自然对数的底数) 已知函数f(x)=elnx+k/x(其中e是自然对数的底数,k为正数）已知函数 f（x）=ax＋lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数）已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数已知函数f（x）＝ax+lnx,其中a为常数e为自然对数的底数求函数的单调区间