已知定义的R上的函数f(x)满足f(x)=f(4-x),又函数f(x+2)在[0,+∞)单调递减.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 17:26:00
已知定义的R上的函数f(x)满足f(x)=f(4-x),又函数f(x+2)在[0,+∞)单调递减.
(1)求不等式f(3x)>f(2x-1)的解集;
(2)设(1)中的解集为A,对于任意t∈A时,不等式x2+(t-2)x+1-t>0恒成立,求实数x的取值范围.
(1)求不等式f(3x)>f(2x-1)的解集;
(2)设(1)中的解集为A,对于任意t∈A时,不等式x2+(t-2)x+1-t>0恒成立,求实数x的取值范围.
(1)∵f(x)=f(4-x)∴f(x)图象关于直线x=2对称
又∵f(x+2)在[0,+∞)上单调递减
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减
∴不等式f(3x)>f(2x-1)等价于:|3x-2|<|2x-1-2|⇔(3x-2)2<(2x-3)2⇔(5x-5)(x+1)<0⇔-1<x<1
∴原不等式的解集为(-1,1)
(2)令g(t)=(x-1)t+(x2-2x+1)是关于t的函数.
∵t∈(-1,1)时,不等式x2+(t-2)x+(1-t)>0恒成立
即使g(t)>0在t∈(-1,1)上恒成立
当x≠1时,
g(−1)≥0
g(1)≥0⇒
x2−3x+2≥0
x2−x≥0⇒
x≤1或x≥2
x≤0或x≥1⇒x≤0或x=1或x≥2
∴x≤0或x≥2
当x=1时,0>0恒不成立,∴x≠1
综上,x∈(-∞,0]∪[2,+∞]
又∵f(x+2)在[0,+∞)上单调递减
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减
∴不等式f(3x)>f(2x-1)等价于:|3x-2|<|2x-1-2|⇔(3x-2)2<(2x-3)2⇔(5x-5)(x+1)<0⇔-1<x<1
∴原不等式的解集为(-1,1)
(2)令g(t)=(x-1)t+(x2-2x+1)是关于t的函数.
∵t∈(-1,1)时,不等式x2+(t-2)x+(1-t)>0恒成立
即使g(t)>0在t∈(-1,1)上恒成立
当x≠1时,
g(−1)≥0
g(1)≥0⇒
x2−3x+2≥0
x2−x≥0⇒
x≤1或x≥2
x≤0或x≥1⇒x≤0或x=1或x≥2
∴x≤0或x≥2
当x=1时,0>0恒不成立,∴x≠1
综上,x∈(-∞,0]∪[2,+∞]
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