在平面直角坐标系XOY中,经过点（0,根号2）且斜率为K的直线L为椭圆二分之X的平方＋Y的平方＝1有两个不同的交点P和Q

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/30 23:54:20

在平面直角坐标系XOY中,经过点（0,根号2）且斜率为K的直线L为椭圆二分之X的平方＋Y的平方＝1有两个不同的交点P和Q
（1）求K的取值范围
（2）设椭圆与X轴正半轴,Y轴正半轴的交点分别为A和B,是否存在常数K,使得向量PO＋OQ与AB共线?如果存在,求K值；如果不存在,请说明理由．

解（1）设过点（0,根号2）的直线为y=kx+根号2(点斜式）
得方程组 x^2/2+y^2=1
y=kx+根号2
消去y （1+2k^2）x^2+4倍根号2kx+2=0
由直线与椭圆有2不同交点
Δ＞0
得 k＞2分之根号2 或 k＜-2分之根号2
(2)设存在k满足共线条件
由椭圆方程知 A B的坐标
从而直线AB的斜率为2分之根号2
有平行四边形定则知在ΔOPQ边上的中线的斜率为 2分之根号2
设P（X1,Y1) Q(X2,Y2)
则直线PQ的斜率应为2分之根号2
由(1）中方程组知
X1+X2=-4√2K/(1+2K^2)
Y1+Y2=2√2K/(1+2K^2)
得斜率为-2分之根号2
不符合(1）中所解的范围
故不存在符合题意的k 使其共线