一道关于向量组线性的证明题,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/28 15:58:12
一道关于向量组线性的证明题,
证明:如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关.
证明:如果向量b可由向量组a1,a2,...ar线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是向量组a1,a2,...ar线性无关.
![一道关于向量组线性的证明题,](/uploads/image/z/5477440-40-0.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9A%84%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%2C)
必要性.
已知向量b可由向量组a1,a2,...,ar线性表示,且表示法唯一.设b=k1a1+k2a2+……+krar.
假设向量组a1,a2,...,ar线性相关,则存在一组不全为零的数t1,t2,……,tr,使得t1a1+t2a2+……+trar=0
所以,b=(k1+t1)a1+(k2+t2)a2+……+(kr+tr)ar,因为t1,t2,……,tr不全为零,所以b=k1a1+k2a2+……+krar与b=(k1+t1)a1+(k2+t2)a2+……+(kr+tr)ar是两种不同的表示方法,与表示法唯一矛盾.
所以,向量组a1,a2,...,ar线性无关
充分性.
已知向量组a1,a2,...,ar线性无关.假设向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示式不唯一,
设b=m1a1+m2a2+……+mrar与b=n1a1+n2a2+……+nrar是两种不同的表示,则(m1-n1)a1+(m2-n2)a2+……+(mr-nr)ar=0,其中m1-n1,m2-n2,……,mr-nr不全为零,所以a1,a2,……,ar线性相关,与已知矛盾.
所以向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示法唯一
已知向量b可由向量组a1,a2,...,ar线性表示,且表示法唯一.设b=k1a1+k2a2+……+krar.
假设向量组a1,a2,...,ar线性相关,则存在一组不全为零的数t1,t2,……,tr,使得t1a1+t2a2+……+trar=0
所以,b=(k1+t1)a1+(k2+t2)a2+……+(kr+tr)ar,因为t1,t2,……,tr不全为零,所以b=k1a1+k2a2+……+krar与b=(k1+t1)a1+(k2+t2)a2+……+(kr+tr)ar是两种不同的表示方法,与表示法唯一矛盾.
所以,向量组a1,a2,...,ar线性无关
充分性.
已知向量组a1,a2,...,ar线性无关.假设向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示式不唯一,
设b=m1a1+m2a2+……+mrar与b=n1a1+n2a2+……+nrar是两种不同的表示,则(m1-n1)a1+(m2-n2)a2+……+(mr-nr)ar=0,其中m1-n1,m2-n2,……,mr-nr不全为零,所以a1,a2,……,ar线性相关,与已知矛盾.
所以向量b由向量组a1,a2,...ar线性表示的表示法唯一