蝴蝶定理共有多少种证明
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/18 22:22:23
蝴蝶定理共有多少种证明
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这里介绍一种较为简便的初等数学证法.
证明:过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.蝴蝶定理∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵AS=1/2AD,BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O,S,X,M四点共圆
同理,O,T,Y,M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ,
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
[1]其它证明方法:(注:²是平方的意思) 修改上图令 x = XM ,a = PM
则 AX · XD = PX · XQ = a² - x²
在 ΔDXM 中,由正弦定理:
DX = x·sin(α)/sin(180° - (α + β + γ)) = x·sin(α)/sin(α + β + γ).
在 ΔAXM 中:AX = x·sin(β)/sin(γ)
所以有
AX · DX = x²·sin(α)·sin(β)/sin(γ)·sin(α + β + γ) = a² - x²
∴ x² = a²·sin(γ)·sin(α + β + γ))/(sin(α)·sin(β) + sin(γ)·sin(α + β + γ))
在上面的式子中,α 和 β 是对称的.如果我们令 y = MY,会得到同样的结果
∴ x = y,得证
这个定理在椭圆中也成立,如图
1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M(o,r)(b>r>0).
(Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率
(Ⅱ)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0);直线y=k2x交椭圆于两点G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0).
求证:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.
求证:| OP | = | OQ |.
(证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)
证明:过圆心O作AD与BC的垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.蝴蝶定理∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵AS=1/2AD,BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O,S,X,M四点共圆
同理,O,T,Y,M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ,
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
[1]其它证明方法:(注:²是平方的意思) 修改上图令 x = XM ,a = PM
则 AX · XD = PX · XQ = a² - x²
在 ΔDXM 中,由正弦定理:
DX = x·sin(α)/sin(180° - (α + β + γ)) = x·sin(α)/sin(α + β + γ).
在 ΔAXM 中:AX = x·sin(β)/sin(γ)
所以有
AX · DX = x²·sin(α)·sin(β)/sin(γ)·sin(α + β + γ) = a² - x²
∴ x² = a²·sin(γ)·sin(α + β + γ))/(sin(α)·sin(β) + sin(γ)·sin(α + β + γ))
在上面的式子中,α 和 β 是对称的.如果我们令 y = MY,会得到同样的结果
∴ x = y,得证
这个定理在椭圆中也成立,如图
1,椭圆的长轴A1、A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M(o,r)(b>r>0).
(Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率
(Ⅱ)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0);直线y=k2x交椭圆于两点G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0).
求证:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.
求证:| OP | = | OQ |.
(证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)