(2014•镇江模拟)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/14 00:36:36
(2014•镇江模拟)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/3a/53a5b3c1c8fb586ffa2cb6e7d2c48dd1.jpg)
(1)如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF(S表示面积)
(2)如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.
(3)利用(2)的结论解决下列问题:
我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.(如图3)若O是△ABC的重心,连结AO并延长交BC于D,则
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/3a/53a5b3c1c8fb586ffa2cb6e7d2c48dd1.jpg)
(1)如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF(S表示面积)
(2)如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.
(3)利用(2)的结论解决下列问题:
我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.(如图3)若O是△ABC的重心,连结AO并延长交BC于D,则
AO |
AD |
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证明:(1)∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.
∵点E为DC边的中点,
∴DE=CE.
∵在△ADE和△FCE中,
∠DAE=∠F
∠D=∠FCE
DE=CE,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴S△ADE=S△FCE,
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE,
即S四边形ABCD=S△ABF;
(2)出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,如图2,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fb/ffb97e9643b9e32fd988cc1e733b5b62.jpg)
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF<PE,过点M作MG∥OB交EF于G,
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON.
∵S四边形MOFG<S△EOF,
∴S△MON<S△EOF,
∴当点P是MN的中点时S△MON最小;
(3)如图3,过点O作GH∥BC交AB于G,交AC于H,
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/03/103de09f76a7058fcb748fb4fc00d2b7.jpg)
∵GH∥BC
∴
OG
BD=
AO
AD,
OH
DC=
AO
AD,
∵O是△ABC的重心,
∴BD=DC,
∴OG=OH,
由(2)的结论得出S△AGH最小,则S四边形BCHG最大,即
S四边形BCHG
S△AGH最大.
∵
GH
BC=
AO
AD=
2
3,
∴
S△ABC
S△AGH=
9
4
∴
S四边形BCHG
S△AGH=
5
4.
∴
S四边形BCHG
S△AGH有最大值,最大值为
5
4.
∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.
∵点E为DC边的中点,
∴DE=CE.
∵在△ADE和△FCE中,
∠DAE=∠F
∠D=∠FCE
DE=CE,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴S△ADE=S△FCE,
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE,
即S四边形ABCD=S△ABF;
(2)出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,如图2,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fb/ffb97e9643b9e32fd988cc1e733b5b62.jpg)
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF<PE,过点M作MG∥OB交EF于G,
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON.
∵S四边形MOFG<S△EOF,
∴S△MON<S△EOF,
∴当点P是MN的中点时S△MON最小;
(3)如图3,过点O作GH∥BC交AB于G,交AC于H,
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/03/103de09f76a7058fcb748fb4fc00d2b7.jpg)
∵GH∥BC
∴
OG
BD=
AO
AD,
OH
DC=
AO
AD,
∵O是△ABC的重心,
∴BD=DC,
∴OG=OH,
由(2)的结论得出S△AGH最小,则S四边形BCHG最大,即
S四边形BCHG
S△AGH最大.
∵
GH
BC=
AO
AD=
2
3,
∴
S△ABC
S△AGH=
9
4
∴
S四边形BCHG
S△AGH=
5
4.
∴
S四边形BCHG
S△AGH有最大值,最大值为
5
4.
(2014•镇江模拟)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
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