怎么理解 AX=b的系数矩阵A的行向量组线性无关,则该方程有解
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/24 10:26:25
怎么理解 AX=b的系数矩阵A的行向量组线性无关,则该方程有解
设A是mxn矩阵
由已知,r(A)=m
所以A的列向量组a1,...,an的秩也是m
不妨设 a1,...,am 是A的列向量组a1,...,an的一个极大无关组.
则对任一m维向量b,向量组 a1,...,am,b 线性相关.(1)
故 b 可由 a1,...,am 线性表示 (2)
所以 b 可由 a1,...,an 线性表示
所以 Ax=b 有解.(3)
注:
(1)若向量组的个数大于维数,则向量组线性相关
(2)定理:若 a1,...,as 线性无关,a1,...,as,b 线性相关
则 b 可由 a1,...,as 唯一线性表示
(3) Ax=b 有解 b可由A的列向量组线性表示.
由已知,r(A)=m
所以A的列向量组a1,...,an的秩也是m
不妨设 a1,...,am 是A的列向量组a1,...,an的一个极大无关组.
则对任一m维向量b,向量组 a1,...,am,b 线性相关.(1)
故 b 可由 a1,...,am 线性表示 (2)
所以 b 可由 a1,...,an 线性表示
所以 Ax=b 有解.(3)
注:
(1)若向量组的个数大于维数,则向量组线性相关
(2)定理:若 a1,...,as 线性无关,a1,...,as,b 线性相关
则 b 可由 a1,...,as 唯一线性表示
(3) Ax=b 有解 b可由A的列向量组线性表示.
怎么理解 AX=b的系数矩阵A的行向量组线性无关,则该方程有解
设A为4*5阶矩阵,且A的行向量组线性无关,则方程组AX=B
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