已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/29 17:42:13
已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得
使得使得x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切实数成立?若存在,求出a b c得值.
使得使得x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切实数成立?若存在,求出a b c得值.
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y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0)
∴a-b+c=0
∴b=a+c
x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切实数成立
需x≤f(x) 即ax^2+(b-1)x+c≥0恒成立 (*)
即a>0,Δ1=(b-1)^2-4ac≤0 (1)成立
需 f(x)≤(1+x²)/2即 2ax^2+2bx+2c≤1+x²
即(1-2a)x^2-2bx+1-2c≥0恒成立 (#)
当1-2a=0时,(#) 即-2(a+c)x+1-2c≥0
(-1-2c)x≥2c-1恒成立
则c=-1/2
此时,a=1/2,c=-1/2,b=0,(*)也成立符合题意
当1-2a>0时,
(#)需 Δ2=4b^2-4(1-2a)(1-2c)≤0(2)成立
==> (a+c)^2-(4ac-2a-2c+1)≤0
==> (a+c)^2+2(a+c)+1-4ac≤0
==> (b+1)^2-4ac≤0 (3)
(1)+(3):
2b^2+2-8ac ≤0
(a+c)^2+1-8ac≤0
(a-c)^2+1≤0矛盾
∴符合条件的a b c的值只有
a=1/2,b=0,c=-1/2
∴a-b+c=0
∴b=a+c
x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切实数成立
需x≤f(x) 即ax^2+(b-1)x+c≥0恒成立 (*)
即a>0,Δ1=(b-1)^2-4ac≤0 (1)成立
需 f(x)≤(1+x²)/2即 2ax^2+2bx+2c≤1+x²
即(1-2a)x^2-2bx+1-2c≥0恒成立 (#)
当1-2a=0时,(#) 即-2(a+c)x+1-2c≥0
(-1-2c)x≥2c-1恒成立
则c=-1/2
此时,a=1/2,c=-1/2,b=0,(*)也成立符合题意
当1-2a>0时,
(#)需 Δ2=4b^2-4(1-2a)(1-2c)≤0(2)成立
==> (a+c)^2-(4ac-2a-2c+1)≤0
==> (a+c)^2+2(a+c)+1-4ac≤0
==> (b+1)^2-4ac≤0 (3)
(1)+(3):
2b^2+2-8ac ≤0
(a+c)^2+1-8ac≤0
(a-c)^2+1≤0矛盾
∴符合条件的a b c的值只有
a=1/2,b=0,c=-1/2
已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得
已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得x≤f(x)≤(1+x²
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