利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/29 04:50:10
利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2
首先,证明函数的单调性,设x2>x1>4
f1(x)=2^x
f1(x2)-f1(x1)=2^x2-2^x1=2^x1(2^x2/2^x1-1)=2^x1*[2^(x2-x1)-1]
因为x2>x1>4,所以2^(x2-x1)>2^0=1
则 f1(x2)-f1(x1)>0,函数f1(x)=2^x 在x>4时为单调增函数,最小值为2^4=16
再设f2(x)=x^2,
f2(x2)-f2(x1)=x2^2-x1^2=(x2-x1)(x2+x1)
因为x2>x1>4,所以x2-x1>0
f2(x2)-f2(x1)>0,函数f2(x)=x^2 在x>4时也为单调增函数,最小值为4^2=16
分别对f1(x)和f2(x)求导,得
f1'(x)=2^xln2
f2'(x)=2x
同上述方法,也可证明f1'(x)=2^xln2,f2'(x)=2x在x>4时也是单调增函数,
f1'(x)最小值为16ln2>f2'(x)的最小值8
但为证明上述导数在整个x>4区间都存在f1'(x)>f2'(x),需再对上述导数求导得
f1''(x)=2^xln2^2,f2''(x)=2
同上述方法,也可证明f1''(x)=2^xln2^2在x>4时也是单调增函数,最小值为16ln2^2> f2''(x)=2
倒推回去,则在整个x>4区间都存在f1'(x)>f2'(x).
则f1(x)>f2(x)也在整个x>4区间都成立.
f1(x)=2^x
f1(x2)-f1(x1)=2^x2-2^x1=2^x1(2^x2/2^x1-1)=2^x1*[2^(x2-x1)-1]
因为x2>x1>4,所以2^(x2-x1)>2^0=1
则 f1(x2)-f1(x1)>0,函数f1(x)=2^x 在x>4时为单调增函数,最小值为2^4=16
再设f2(x)=x^2,
f2(x2)-f2(x1)=x2^2-x1^2=(x2-x1)(x2+x1)
因为x2>x1>4,所以x2-x1>0
f2(x2)-f2(x1)>0,函数f2(x)=x^2 在x>4时也为单调增函数,最小值为4^2=16
分别对f1(x)和f2(x)求导,得
f1'(x)=2^xln2
f2'(x)=2x
同上述方法,也可证明f1'(x)=2^xln2,f2'(x)=2x在x>4时也是单调增函数,
f1'(x)最小值为16ln2>f2'(x)的最小值8
但为证明上述导数在整个x>4区间都存在f1'(x)>f2'(x),需再对上述导数求导得
f1''(x)=2^xln2^2,f2''(x)=2
同上述方法,也可证明f1''(x)=2^xln2^2在x>4时也是单调增函数,最小值为16ln2^2> f2''(x)=2
倒推回去,则在整个x>4区间都存在f1'(x)>f2'(x).
则f1(x)>f2(x)也在整个x>4区间都成立.
利用函数的单调性与函数的极值证明不等式,当x>4时,2^x>x^2
利用函数单调性,证明下列不等式 (2)e的x次方>x+1
利用函数的单调性证明不等式:当x>0时,e的x次方>1+x
利用函数单调性证明下列不等式:(1)当X>1时,2*根号X>3-1/X
利用函数单调性证明当x>=5时,2的x次方>x的2次方
函数的最值与导数利用函数的单调性,证明不等式.e^x>1+x,x不等于0
利用函数的单调性,证明不等式:x -x^2>0 ,x 属于(0,
利用函数的单调性证明不等式:(1)x-x^2>0,x在(0,1)内 (2):e^x>1+x,x不等于0
设函数f(x)=-4x+b,不等式|f(x)|1/2)的单调性,并用定义证明.
用函数单调性证明不等式 当x>o时,1+(1/2)x>√1+x
(1)利用单调性定义证明函数f(x)=x+ x分之4在[1,2]上的单调性并求其最值.
利用函数的单调性证明不等式