求幂级数∑[(n-1)x^(2n-2)]/3^n的和函数(n从1到∞)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 20:45:10
求幂级数∑[(n-1)x^(2n-2)]/3^n的和函数(n从1到∞)
![求幂级数∑[(n-1)x^(2n-2)]/3^n的和函数(n从1到∞)](/uploads/image/z/6007831-7-1.jpg?t=%E6%B1%82%E5%B9%82%E7%BA%A7%E6%95%B0%E2%88%91%5B%28n-1%29x%5E%282n-2%29%5D%2F3%5En%E7%9A%84%E5%92%8C%E5%87%BD%E6%95%B0%28n%E4%BB%8E1%E5%88%B0%E2%88%9E%29)
记
f(x) = ∑(n=1~inf.)[(n-1)x^(2n-2)]/3^n
= (1/3)∑(n=1~inf.)n[(x^2)/3]^(n-1) - (1/3)∑(n=1~inf.)[(x^2)/3]^(n-1)
=(1/3)f1(x) - (1/3)f2(x),
而
f2(x) = ∑(n=1~inf.)[(x^2)/3]^(n-1)
= 1/[1 - (x^2)/3],|(x^2)/3| < 1,
又
∫[0,x] f1(t)dt
= ∑(n=1~inf.)n∫[0,x]{[(t^2)/3]^(n-1)}dt
= ∑(n=1~inf.)[(t^2)/3]^n
= 1/[1 - (x^2)/3] - 1,|(x^2)/3| < 1,
可得
f1(x) = (d/dx)∫[0,x] f1(t)dt
= (d/dx) {1/[1 - (x^2)/3] - 1}
= ……,|(x^2)/3| < 1,
由此可得结果,……
f(x) = ∑(n=1~inf.)[(n-1)x^(2n-2)]/3^n
= (1/3)∑(n=1~inf.)n[(x^2)/3]^(n-1) - (1/3)∑(n=1~inf.)[(x^2)/3]^(n-1)
=(1/3)f1(x) - (1/3)f2(x),
而
f2(x) = ∑(n=1~inf.)[(x^2)/3]^(n-1)
= 1/[1 - (x^2)/3],|(x^2)/3| < 1,
又
∫[0,x] f1(t)dt
= ∑(n=1~inf.)n∫[0,x]{[(t^2)/3]^(n-1)}dt
= ∑(n=1~inf.)[(t^2)/3]^n
= 1/[1 - (x^2)/3] - 1,|(x^2)/3| < 1,
可得
f1(x) = (d/dx)∫[0,x] f1(t)dt
= (d/dx) {1/[1 - (x^2)/3] - 1}
= ……,|(x^2)/3| < 1,
由此可得结果,……
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