第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 08:15:30
第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
有的请发上来~=
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1.甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人,每个病人患x病或y病中的一种,经过几天治疗,甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人.问:经过这几天治疗后,是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈均低于乙医院的?举例说明.
(x病治愈率=
解.可能.列表如下:
X病 Y病 病愈
甲医院病人数 10 90 0+63=63
甲医院病愈人数百分比 0% 70%
乙医院病人数 90 10 45+10=55
乙医院病愈人数百分比 50% 100%
设乙医院接受90个x病人,10个y病人,治愈率分别为50%和100%;甲医院接受10个x病人,90个y病人治愈率分别为0%和70%.则乙医院治愈的病人数是55人;甲医院治愈的病人数是63人.
2.在长方形ABCD中,BF=AE=3厘米,DE=6厘米.三角形GEC的面积是20平方厘米,三角形GFD的面积是16平方厘米.那么,长方形ABCD的面积是多少平方厘米?
解.设AG=a厘米,BG=b厘米.则
所以
以及,
所以,
由(1)和(2)得到,平方厘米).
解2.
分别向长方形ABCD外作梯形AQSD和BPRC使得AQ=AG,BP=BG,SD=CD=CR.
.设CD=AB=AG+BG=x.
则
即
整理得
3.甲、乙、丙三辆汽车分别从 的顶点,A,B,C出发,选择一个地点相会(AB=c,AC=b,BC=a).每辆车沿直线路段到相会地点.三辆车的单位路程耗油量分别为 .要使三辆车路上所用的油量之和最少,相会地点应选在何处?最小油量是多少(用a,b,c表示)?
解.设会面地点在O,
(O在AB上取等号)
(O在AC上取等号)
(O在AB和AC的交点出A取等号)又
(当x=0时,即O取在A点时取等号).
答.相会地点选在A点三人在路上所用的油量之和最少;最少值为
4.用十进位制表示的某些自然数等于它的各位数字之和的16倍.求所有这样
的自然数之和.
解.n不可能是一位数、两位数和四位数,
.
5.求同时满足下列三个条件的自然数
1) 2) 3) .
解.若 不是整数.设
所以,k是169的因数.因此,
当k=169时,不满足要求.
当
不满足要求.
答.
6.如图,长方阵,行距和列距都是1.第6列上(除与第0行相交处外),每一个阵点上放有一个靶标,而前5列上所有的阵点上都放有障碍物.神枪手站在第0行第0列的位置,要击中靶标,必须先扫清子弹前进弹道(直线)上的一切障碍物.若神枪手每发子弹都能击中目标,而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物.那么
1)不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个?
2)要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个?
解.我们将第x列第y行的阵点记为(x,y).
在(6,a)处有一个靶标,从(0,0)到(6,a)的
直线上若有阵点B(x,y)(如下图),
则连接OA,B点在OA上,
连接BC.,此即
,令最大公约数
AB线段上共有d-1个阵点.因此,在击毁靶标(6,a)之前,先要清除d-1个障碍物.
所以,要击毁靶标(6,a)就要用d发子弹.
1) 若 ,且最大公约数(6,a)=1,则靶标(6,a)只需要1发子弹就能击毁.不超过100的自然数中,既不能被2整除,也不能被3整除的数与6互质.
1到100的自然数被2整除的数的个数=100/2=50;
1到100的自然数被3整除的数的个数=[100/3]=33;
1到100的自然数被6整除的数的个数=[100/6]=16.
故1到100的自然数或被2整除,或被3整除的数的个数=50+33-16=67.因此,100以内的自然数与6互质的数的个数=100-67=33,即有33个靶标只需要一发子弹就能击毁.
2) 若靶标(6,a) 前面只有一个障碍物,那么最大公约数(6,a)=2.
100以内的自然数,能被2整除,但不能被6整除的数有50-16=34个.
所以,用两发子弹就能清除的靶标有34个.
(x病治愈率=
解.可能.列表如下:
X病 Y病 病愈
甲医院病人数 10 90 0+63=63
甲医院病愈人数百分比 0% 70%
乙医院病人数 90 10 45+10=55
乙医院病愈人数百分比 50% 100%
设乙医院接受90个x病人,10个y病人,治愈率分别为50%和100%;甲医院接受10个x病人,90个y病人治愈率分别为0%和70%.则乙医院治愈的病人数是55人;甲医院治愈的病人数是63人.
2.在长方形ABCD中,BF=AE=3厘米,DE=6厘米.三角形GEC的面积是20平方厘米,三角形GFD的面积是16平方厘米.那么,长方形ABCD的面积是多少平方厘米?
解.设AG=a厘米,BG=b厘米.则
所以
以及,
所以,
由(1)和(2)得到,平方厘米).
解2.
分别向长方形ABCD外作梯形AQSD和BPRC使得AQ=AG,BP=BG,SD=CD=CR.
.设CD=AB=AG+BG=x.
则
即
整理得
3.甲、乙、丙三辆汽车分别从 的顶点,A,B,C出发,选择一个地点相会(AB=c,AC=b,BC=a).每辆车沿直线路段到相会地点.三辆车的单位路程耗油量分别为 .要使三辆车路上所用的油量之和最少,相会地点应选在何处?最小油量是多少(用a,b,c表示)?
解.设会面地点在O,
(O在AB上取等号)
(O在AC上取等号)
(O在AB和AC的交点出A取等号)又
(当x=0时,即O取在A点时取等号).
答.相会地点选在A点三人在路上所用的油量之和最少;最少值为
4.用十进位制表示的某些自然数等于它的各位数字之和的16倍.求所有这样
的自然数之和.
解.n不可能是一位数、两位数和四位数,
.
5.求同时满足下列三个条件的自然数
1) 2) 3) .
解.若 不是整数.设
所以,k是169的因数.因此,
当k=169时,不满足要求.
当
不满足要求.
答.
6.如图,长方阵,行距和列距都是1.第6列上(除与第0行相交处外),每一个阵点上放有一个靶标,而前5列上所有的阵点上都放有障碍物.神枪手站在第0行第0列的位置,要击中靶标,必须先扫清子弹前进弹道(直线)上的一切障碍物.若神枪手每发子弹都能击中目标,而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物.那么
1)不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个?
2)要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个?
解.我们将第x列第y行的阵点记为(x,y).
在(6,a)处有一个靶标,从(0,0)到(6,a)的
直线上若有阵点B(x,y)(如下图),
则连接OA,B点在OA上,
连接BC.,此即
,令最大公约数
AB线段上共有d-1个阵点.因此,在击毁靶标(6,a)之前,先要清除d-1个障碍物.
所以,要击毁靶标(6,a)就要用d发子弹.
1) 若 ,且最大公约数(6,a)=1,则靶标(6,a)只需要1发子弹就能击毁.不超过100的自然数中,既不能被2整除,也不能被3整除的数与6互质.
1到100的自然数被2整除的数的个数=100/2=50;
1到100的自然数被3整除的数的个数=[100/3]=33;
1到100的自然数被6整除的数的个数=[100/6]=16.
故1到100的自然数或被2整除,或被3整除的数的个数=50+33-16=67.因此,100以内的自然数与6互质的数的个数=100-67=33,即有33个靶标只需要一发子弹就能击毁.
2) 若靶标(6,a) 前面只有一个障碍物,那么最大公约数(6,a)=2.
100以内的自然数,能被2整除,但不能被6整除的数有50-16=34个.
所以,用两发子弹就能清除的靶标有34个.
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