搜搜考试网用极限的定义证明a^n/n!的极限是0,我是数学系的,请用定义证,级数法等勿扰.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/17 01:43:18
用极限的定义证明a^n/n!的极限是0,我是数学系的,请用定义证,级数法等勿扰.
lim a^n/n!=0
考虑：
|a^n/n!-0|
=|a^n| / n!
≤|a|^n / n!
=|a|*|a|*…*|a| / 1*2*…*n
取N=[|a|]+1>|a|
≤(|a|/1 * … * |a|/N) * (|a|/n)
记为c/n,其中因为a是有限数,故c也是有限数（即c有界）
对任意ε>0,存在N=max{[|a|]+1,c/ε}>|a|>0,当n>N,有|a^n/n!-0|
再问： 从对N赋值后开始看不太懂、、、求分析思路
再答： 因为|a|是有限数，所以必定存在某个N，当n>N，就有n>|a| （因为n是要趋于无穷的） 考虑到|a|不一定是正整数，所以取N=[|a|]+1>a（|a|向下取整+1） 当n>N>a，自然，|a|/n
考虑：
|a^n/n!-0|
=|a^n| / n!
≤|a|^n / n!
=|a|*|a|*…*|a| / 1*2*…*n
取N=[|a|]+1>|a|
≤(|a|/1 * … * |a|/N) * (|a|/n)
记为c/n,其中因为a是有限数,故c也是有限数（即c有界）
对任意ε>0,存在N=max{[|a|]+1,c/ε}>|a|>0,当n>N,有|a^n/n!-0|
再问： 从对N赋值后开始看不太懂、、、求分析思路
再答： 因为|a|是有限数，所以必定存在某个N，当n>N，就有n>|a| （因为n是要趋于无穷的） 考虑到|a|不一定是正整数，所以取N=[|a|]+1>a（|a|向下取整+1） 当n>N>a，自然，|a|/n
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