设f(x)是(0,正无穷)上的凸函数,证明:F(x)=(1/x)∫f(t)dt(积分限(0,x))在(0,+∞)是凸函数
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/29 11:30:16
设f(x)是(0,正无穷)上的凸函数,证明:F(x)=(1/x)∫f(t)dt(积分限(0,x))在(0,+∞)是凸函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/02/f022f531a0dc2dfa906dd351a1384fb4.jpg)
这一步是贴吧找到的提示然后没有下文了,请问接下来怎么办?是借用三弦不等式之类的吗?
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这一步是贴吧找到的提示然后没有下文了,请问接下来怎么办?是借用三弦不等式之类的吗?
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得出结论F(x)=1/x*∫{0,x} f(t)dt=∫{0,1} f(x*u)du很关键,后面用凹凸性的定义证即可
设x₁,x₂∈(0,+∞),且u∈[0,1],由于f(x)在(0,+∞)上为凸函数
故f[(x₁+ x₂)/2*u]=f[(x₁*u+ x₂*u)/2]≥1/2*[f(x₁*u)+ f(x₂*u)]
因此∫{0,1} f[(x₁+ x₂)/2*u]dx>1/2*[∫{0,1} f(x₁*u)dx+∫{0,1} f(x₂*u)dx]
即F[(x₁+ x₂)/2]>1/2*[F(x₁)+F(x₂)]
故F(x)在(0,+∞)上为凸函数
设x₁,x₂∈(0,+∞),且u∈[0,1],由于f(x)在(0,+∞)上为凸函数
故f[(x₁+ x₂)/2*u]=f[(x₁*u+ x₂*u)/2]≥1/2*[f(x₁*u)+ f(x₂*u)]
因此∫{0,1} f[(x₁+ x₂)/2*u]dx>1/2*[∫{0,1} f(x₁*u)dx+∫{0,1} f(x₂*u)dx]
即F[(x₁+ x₂)/2]>1/2*[F(x₁)+F(x₂)]
故F(x)在(0,+∞)上为凸函数
设f(x)是(0,正无穷)上的凸函数,证明:F(x)=(1/x)∫f(t)dt(积分限(0,x))在(0,+∞)是凸函数
设函数f(x)在[0,正无穷)上连续,单调不减且f(0)>=0,试证 F(x)=1/x*∫(0到x)t^n*f(t)dt
设函数f(x)=x²+ax是R上的偶函数 用定义证明:f(x)在(0,正无穷)上为增函数
设f(x)在0到正无穷上连续,若积分上限f(x),下限0,t^2dt=x^2(x+1),求f(2)
设函数f(x)是(0,正无穷)上的增函数,令F(x)=f(x)-f(1/x)
设函数f(x)在负无穷到正无穷内连续,且F(x)=∫(0到x)(x-2t)f(t)dt,证明若fx为偶函数,则Fx也是偶
设函数f(x)是定义在(0,正无穷)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y),f(6)=1解不等式f(x+3)-f
设奇函数f(x)是在(0,正无穷)上为增函数且f(x)=0,则不等式f(x)-f(x)/x
证明:设f(x)在(-∞,+∞)连续,则函数F(x)=∫(0,1)f(x+t)dt可导,并求F'(x)
设f(x)=x²+1(1)证明f(x)是偶函数(2)用定义证明f(x)在[0,正无穷)上是增函数!
设函数y=f(x)是定义在(0,正无穷)上的单调函数,且f(x/y)=f(x)-f(y)
设函数f(x)是偶函数,且在(负无穷,0)上是增函数,判断f(x)在(0,正无穷)上的单调性,并加以证明