搜搜考试网请问这个怎么积分：∫√(x^2+4)dx ?
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/12 10:19:34
请问这个怎么积分：∫√(x^2+4)dx ?
设x=2tant,则dx=2sec²tdt,sint=x/√(x²+4)
故 原式=∫(2sect)*(2sec²t)dt
=4∫dt/cos³t
=4∫d(sint)/(1-sin²t)²
=∫[1/(1+sint)+1/(1-sint)+1/(1+sint)²+1/(1-sint)²]d(sint)
=ln│1+sint│-ln│1-sint│-1/(1+sint)+1/(1-sint)+C1 (C1是积分常数)
=ln│(1+sint)/(1-sint)│+2sint/(1-sin²t)+C1
=ln│(1+x/√(x²+4))/(1-x/√(x²+4))│+2x/√(x²+4)/(1-(x/√(x²+4))²)+C1
=2ln(√(x²+4)+x)-2ln2+x√(x²+4)/2+C1
=2ln(√(x²+4)+x)+x√(x²+4)/2+C (C=C1-2ln2,也是积分常数).
故 原式=∫(2sect)*(2sec²t)dt
=4∫dt/cos³t
=4∫d(sint)/(1-sin²t)²
=∫[1/(1+sint)+1/(1-sint)+1/(1+sint)²+1/(1-sint)²]d(sint)
=ln│1+sint│-ln│1-sint│-1/(1+sint)+1/(1-sint)+C1 (C1是积分常数)
=ln│(1+sint)/(1-sint)│+2sint/(1-sin²t)+C1
=ln│(1+x/√(x²+4))/(1-x/√(x²+4))│+2x/√(x²+4)/(1-(x/√(x²+4))²)+C1
=2ln(√(x²+4)+x)-2ln2+x√(x²+4)/2+C1
=2ln(√(x²+4)+x)+x√(x²+4)/2+C (C=C1-2ln2,也是积分常数).
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