圆周率真的等于4么

圆周率真的等于4么

感觉已经是第八次看到有人对这个问题不解了……
以下写在括号里的内容如果看不懂可以跳过.
两个问题是类似的,只列“根号2=2”的示意图：
n充分大的时候,锯齿形和斜边看起来将无限接近,但是长度一个是2,一个是根号2,在某些人看来,这是一个悖论.
对此,给出如下的解释：
首先,在初等微积分中没有关于曲线极限的一般定义.（只定义了数列极限和函数极限,而一般的极限理论是在拓扑空间上的.）
其次,即使造一个定义,能够描述这种逼近（应当指出,这类定义可能不惟一,可能在定义1之下曲线C_n收敛于曲线C,而在定义2之下曲线C_n没有极限.每种不同的定义方法都可以看作是在不同的拓扑空间上考虑）.
也没有道理认为曲线长度的极限恒等于曲线极限的长度.（除非曲线长度在那个拓扑空间上是一个连续泛函）.
事实上,这个问题的数学意义在于,怎样“良好地”定义曲线的长度.
我们首先承认线段的长度是平凡的,对于有限的折线,依据各段相加.
对于弧线,我们要用折线来逼近,但不是胡乱逼近,通俗地说就是折线的小段的“方向”在极限情况下要与曲线一致,不能走回头路.
在一维的情形下,通常定义曲线的长度为内接折线的长度的上确界.
这里内接就可以保证其方向一致,而上确界则代替了复杂的极限概念.（至于走回头路的情况,一般的书籍的折线的定义里已经直接将它排除掉了）
这是一个“良好”的定义.
按照这个定义,所谓的“pi=4”和“根号2=2”的图形直接被排除在外.因为那些锯齿形的折线根本不是考虑的曲线的内接折线,自然不必要求长度收敛到曲线长度.
（不过在二维的情形下,即使内接,仍不能保证方向的一致,参见Schwarz的例子,即使是简单的直圆柱,它的内接折面的面积的上确界也是无穷大.
因此曲面的面积的严格定义比曲线的长度要更复杂一些,具体可参见张筑生《数学分析新讲》
)
另外,我不认为这个问题跟分形几何有实质关系.
这个和lim[n*(1/n)]=lim(1/n)+lim(1/n)+...+lim(1/n)=0+0+0+...0=0犯了同样的错误
补充一下关于为什么觉得这个问题跟分形几何无关.
在标准分析的实数结构中,与Koch雪花不同,依附在光滑曲线上带有无穷小锯齿的曲线没有合理的意义.
当然有人会说,我不需要这种依附在光滑曲线上带有无穷小锯齿的曲线作为“实际上的曲线”存在,我只需要讨论折线列就可以,把符合一定条件的折线列定义成一种“广义曲线”.
但你还需要把维数的定义也推广到这种“广义曲线”上去,就我看,即使你能完成这种定义,在这两个问题中,最合理的维数应该是1,而不是大于1的什么数.（在“根号2=2”和“pi=4”的两个例子中,折线列的总长度都是有限值,作为一种朴素的想法,维度大于1的东西不该有有限的长度,何况“根号2=2”例子中相似维数直观上就是1）
可以这样粗粗解释.
把这两幅图分别置于直角坐标系,以直角顶点为原点.
折线这幅图,”折斜边“在区间（0,1）根本无法做到处处连续.（就是可以找到这样的点,左极限和右极限不相等,更通俗直观的解释就是不光滑.）
右边这幅图,”斜边“除了两个端点分别是右连续和左连续,在（0,1）区间内处处连续.（就是所有的点左极限和右极限相等,俗称光滑.）
左图实际上应该把”折斜边“的一段段小斜边连起来（就是小斜边之和的极限）就是”根号2“.
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那个所谓的PI == 4,也是这个道理.正多边形的周长越来逼近”处处连续“,那个什么”折纸正方形“根本不能做到这一点.
有限情形的折线边是连续的.
无限情形的折线边不是连续不连续的问题,是根本就不存在的问题.