Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+……+n*(n+1)=?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/08 22:26:51
Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+……+n*(n+1)=?
分成1+2+3+……+n+(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(1+n)*n/2+1/6*n(n+1)(2n+1)=(n+1)*(n+2)*n/3.
重点是怎么求1^2+2^2+……+n^2,这里讲2种方法,设Sn=1^2+2^2+……+n^2.
方法1:
展开成1+2+3+4+5……+n
+2+3+4+5+……+n
3+4+5+……+n
4+5+……+n
……
+n
用求和公式:
(1+n)n/2
+(2+n)(n-1)/2
+……
+(n+n)(n-(n-1))/2
化简=0.5*[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n+4)(n-3)+……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n+n*n-(2^2+……+n^2)+(2+3+4+……+n)]=0.5*[n^3+n^2-(Sn-1)+(n+2)(n-1)/2]
这就相当于得到一个关于Sn的方程.
化简一下:
n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3Sn,得
Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n即
1/6*n(n+1)(2n+1)
方法2:
Sn=S(n-1)+n^2
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]
即Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
好了!等式左面全是n,右面全是(n-1),以此递推下去,得
Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6
=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
=S(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6
……
=S(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6
=0
所以Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n
通常我们是当成一个等式背下来,再带到要求的数列中去.
重点是怎么求1^2+2^2+……+n^2,这里讲2种方法,设Sn=1^2+2^2+……+n^2.
方法1:
展开成1+2+3+4+5……+n
+2+3+4+5+……+n
3+4+5+……+n
4+5+……+n
……
+n
用求和公式:
(1+n)n/2
+(2+n)(n-1)/2
+……
+(n+n)(n-(n-1))/2
化简=0.5*[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n+4)(n-3)+……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n+n*n-(2^2+……+n^2)+(2+3+4+……+n)]=0.5*[n^3+n^2-(Sn-1)+(n+2)(n-1)/2]
这就相当于得到一个关于Sn的方程.
化简一下:
n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3Sn,得
Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n即
1/6*n(n+1)(2n+1)
方法2:
Sn=S(n-1)+n^2
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6
=S(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]
即Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
好了!等式左面全是n,右面全是(n-1),以此递推下去,得
Sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6
=S(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
=S(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6
……
=S(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6
=0
所以Sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n
通常我们是当成一个等式背下来,再带到要求的数列中去.
已知Sn=2+5n+8n^2+…+(3n-1)n^n-1(n∈N*)求Sn
Sn=n(n+2)(n+4)的分项等于1/6[n(n+2)(n+4)(n+5)-(n-1)n(n+2)(n+4)]吗?
已知数列{an}的前n项和为Sn=1+2+3+4+…+n,求f(n)= Sn /(n+32)Sn+1的最大值
数列an的前n项和Sn满足Sn=3n+1,n≤5,Sn=n^2,n≥6,求通项公式
Sn=1+ 4/5 + 7/5² +……+ (3n-2)/5^(n-1)
求和:Sn=1*2*3+2*3*4+……+n(n+1)(n+2)
Sn=1x2+3x2^2+5x2^3+…+(2n-1)x2^n sn=2sn-sn
求和:Sn=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+……+n*1
Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+……+n*(n+1)=?
求数列1*2*3,2*3*4,4*5*6,…n(n+1)(n+2),…的Sn
设数列1*4,2*5,3*6,n*(n+3),前n项和sn=
已知数列前n项和为Sn=1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+.+n+n+n+n+n+.n,求Sn