搜搜考试网第20届江苏省数学竞赛第1试试题的一道题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/11 08:27:08
第20届江苏省数学竞赛第1试试题的一道题
正实数a,b,c,d满足a + b + c + d = 1,设p = （根号3a+1）+（根号3b+1）+（根号3c+1）+（根号3d+1）,则( )(A) p > 5 (B) p = 5 (C) p < 5 (D) p与5的大小关系不确定
正实数a,b,c,d满足a + b + c + d = 1,设p = （根号3a+1）+（根号3b+1）+（根号3c+1）+（根号3d+1）,则( )(A) p > 5 (B) p = 5 (C) p < 5 (D) p与5的大小关系不确定
可以这样做.
用“柯西不等式”定范围.
∵a,b,c,d均为正数,且a+b+c+d=1.
∴(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+(3d+1)=7
∴由“柯西不等式”可得：
28=4×7=(1+1+1+1)×[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+(3d+1)]
≧[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)]²
即恒有p≦2√7.等号仅当a=b=c=d=1/4时取得.
这说明,有可能p=2√7＞5.
但是,当a=1/2,b=c=d=1/6时,p=(√10+3√6)/2＜5.
∴p与5的关系不确定,
选D.
用“柯西不等式”定范围.
∵a,b,c,d均为正数,且a+b+c+d=1.
∴(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+(3d+1)=7
∴由“柯西不等式”可得：
28=4×7=(1+1+1+1)×[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)+(3d+1)]
≧[√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)]²
即恒有p≦2√7.等号仅当a=b=c=d=1/4时取得.
这说明,有可能p=2√7＞5.
但是,当a=1/2,b=c=d=1/6时,p=(√10+3√6)/2＜5.
∴p与5的关系不确定,
选D.
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