搜搜考试网（2012•成华区一模）已知两直线l1、l2分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/08/04 00:38:09
（2012•成华区一模）已知两直线l1、l2分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的
| 3 |
| 2 |
（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；
∴OC=
OA•OB=
3，则 C（0，-
3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标后，得：
a（0+1）（0-3）=-
3，a=
3
3
∴抛物线的解析式：y=
3
3（x+1）（x-3）=
3
3x2-
2
3
3x-
3．
（2）易知OA=3、OB=1、OC=
3，则：S△ABC=
1
2AB•OC=
1
2×4×
3=2
3．
①当点P在x轴上方时，由题意知：S△ABP=
1
2S△ABC，则：
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为
3
2；
令y=
3
3x2-
2
3
3x-
3=
3
2，化简得：2x2-4x-9=0
解得 x=
2±
22
2；
∴P1（
2−
22
2，
3
2）、P2（
2+
22
2，
3
2）；
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于
1
2S△ABC，此种情况不合题意；
③当点P在抛物线的A、C段时，S△ACP=
1
2AC•h=
1
2S△ABC=
3，则h=1；
在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l1，交y轴于点E，如右图；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=
2
3
3、OE=OC+CE=
5
3
3，点E（0，-
5
3
3）
∴直线DE：y=
3
3x--
5
3
3，联立抛物线的解析式，有：
y＝
3
3x−
5
3
3
y＝
3
3x2−
2
3
3x−
3，解得：
x1＝1
y1＝−
4
3
3、
x2＝2
y2＝−
3
∴P3（1，-
4
3
3）、P4（2，-
3）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（
2−
22
2，
3
2）、（
2+
22
2，
3
2）、（1，-
4
3
3）、（2，-
3）．
（3）由（1）知：y=
3
3x2-
2
3
3x-
3=
3
3（x-1）2-
4
3
3，
∴抛物线的对称轴 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=
3，则∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
过点C作直线CN∥x轴，交抛物线于点N，如右图；
由抛物线的对称性可得：N（2，-
3），所以 CN=2；
易知直线BC：y=-
3x-
3，则 K（1，-2
3），CK=
(−1−0)2+(−2
3+
3)2=2；
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等边三角形----①．
Ⅰ、KC=KM时，点C、M关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点M、N重合；
Ⅱ、KC=CN时，由于KC=BC，所以此时点M与B、N重合；
Ⅲ、MK=MC时，点M在线段CK的中垂线上，CK的中垂线与抛物线相交于点N或者相交于抛物线的顶点．
综上，符合条件的直线l1的旋转角度α=60°或α=∠ACN=90°-∠2=30
∴OC=
OA•OB=
3，则 C（0，-
3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标后，得：
a（0+1）（0-3）=-
3，a=
3
3
∴抛物线的解析式：y=
3
3（x+1）（x-3）=
3
3x2-
2
3
3x-
3．
（2）易知OA=3、OB=1、OC=3，则：S△ABC=
1
2AB•OC=
1
2×4×
3=2
3．
①当点P在x轴上方时，由题意知：S△ABP=
1
2S△ABC，则：
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为
3
2；
令y=
3
3x2-
2
3
3x-
3=
3
2，化简得：2x2-4x-9=0
解得 x=
2±
22
2；
∴P1（
2−
22
2，
3
2）、P2（
2+
22
2，
3
2）；
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于
1
2S△ABC，此种情况不合题意；
③当点P在抛物线的A、C段时，S△ACP=
1
2AC•h=
1
2S△ABC=
3，则h=1；
在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l1，交y轴于点E，如右图；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=
2
3
3、OE=OC+CE=
5
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3，点E（0，-
5
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3）
∴直线DE：y=
3
3x--
5
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3，联立抛物线的解析式，有：
y＝
3
3x−
5
3
3
y＝
3
3x2−
2
3
3x−
3，解得：
x1＝1
y1＝−
4
3
3、
x2＝2
y2＝−
3
∴P3（1，-
4
3
3）、P4（2，-
3）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（
2−
22
2，
3
2）、（
2+
22
2，
3
2）、（1，-
4
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3）、（2，-
3）．
（3）由（1）知：y=3
3x2-
2
3
3x-
3=
3
3（x-1）2-
4
3
3，
∴抛物线的对称轴 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=
3，则∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
过点C作直线CN∥x轴，交抛物线于点N，如右图；
由抛物线的对称性可得：N（2，-
3），所以 CN=2；
易知直线BC：y=-
3x-
3，则 K（1，-2
3），CK=
(−1−0)2+(−2
3+
3)2=2；
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等边三角形----①．
Ⅰ、KC=KM时，点C、M关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点M、N重合；
Ⅱ、KC=CN时，由于KC=BC，所以此时点M与B、N重合；
Ⅲ、MK=MC时，点M在线段CK的中垂线上，CK的中垂线与抛物线相交于点N或者相交于抛物线的顶点．
综上，符合条件的直线l1的旋转角度α=60°或α=∠ACN=90°-∠2=30
（2012•成华区一模）已知两直线l1、l2分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴
若直线l过点P（3，0）且与两条直线l1：2x-y-2=0，l2：x+y+3=0分别相交于两点A、B，且点P平分线段AB
如图，已知直线L1经过点A（-1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．
一道一次函数数学题已知直线L1与直线L2平行,且与直线L2相交于点M（1,4）.两直线分别于x轴交于A,B两点（B点在A
已知两直线l1和l2相交于点A（2,1）,且直线l2经过坐标原点,若OA=OB
如图已知直线l1经过点A(0,1)与点B(2,3)另一条直线l2经过点B且与x轴相交于点P(m,0) 求直线l1解析式
已知两条直线l1：ax-by+4=0 l2：（a-1）x+y+b=0.l1与l2平行,并且坐标原
如图,直线L1的解析式为y=-3x+3,且L1交x轴于点D,直线L2经过点A、B.直线L1和L2相交于C （1）求点D的
一次函数的图像已知函数y=2/1x-3的图像是直线L1,L2与y轴相交于点A,与x轴相交于点B,直线L2经过点B,并且与
若直线l过点P(3,0)且与两条直线l1:2x-y-2=0,l2:x+y+3=0分别相交于两点A,B,且点P平分线段AB
如图,直线l1,l2经过A(0,4)点D(4,0),直线l2:y=(1/2)X+1与x轴交于点C,两直线l1,l2相交于
如图已知直线L1,经过点A（2,0）与B（-1,3）,另一条直线L2经过点B,且与X轴交于点P(m,0).(1)求直线L