设f(x)=2x²+1,pq>0,p+q=1,求证对任意实数ab恒有pf(a)+qf(b)≧f(pa+qb)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 03:13:10
设f(x)=2x²+1,pq>0,p+q=1,求证对任意实数ab恒有pf(a)+qf(b)≧f(pa+qb)
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思路分析:通过作差变形得到2p(1-p)a2+2q(1-q)b2-4pqab+p+q-1,通过讨论,判断符号,发现证明思路,用综合法去证.
证明:考虑原式两边的差.
pf(a)+qf(b)-f(pa+qb)
=p(2a²+1)+q(2b²+1)-[2(pa+qb)²+1]
=2p(1-p)a²+2q(1-q)b²-4pqab+p+q-1.①
∵p+q=1,pq>0,
∴①式=2pqa²+2pqb²-4pqab
=2pq(a-b)²≥0.
即原式成立.
证法二
f(x)=2x²+1,f'(x)=4x,f''(x)=4>0
∴f(x)为一严格凸函数,根据詹森不等式,对任何a,b∈(-∞,+∞),恒有
f(pa+qb)≤pf(a)+qf(b) (pq>0,p+q=1)
∴pf(a)+qf(b)≥f(pa+qb)
证明:考虑原式两边的差.
pf(a)+qf(b)-f(pa+qb)
=p(2a²+1)+q(2b²+1)-[2(pa+qb)²+1]
=2p(1-p)a²+2q(1-q)b²-4pqab+p+q-1.①
∵p+q=1,pq>0,
∴①式=2pqa²+2pqb²-4pqab
=2pq(a-b)²≥0.
即原式成立.
证法二
f(x)=2x²+1,f'(x)=4x,f''(x)=4>0
∴f(x)为一严格凸函数,根据詹森不等式,对任何a,b∈(-∞,+∞),恒有
f(pa+qb)≤pf(a)+qf(b) (pq>0,p+q=1)
∴pf(a)+qf(b)≥f(pa+qb)
设f(x)=2x²+1,pq>0,p+q=1,求证对任意实数ab恒有pf(a)+qf(b)≧f(pa+qb)
已知f(x)=x的平方+ax+b,且p+q=1,求证pf(x)+f(px+qy)对任意实数x.y都成立的充要条件是0≤p
已知函数f(x)=x^2+ax+b,当p,q满足p+q=1时,试证明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实
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对任意的a,b属于实数,f(ab)=af(b)+bf(a) 且f(x)的绝对值≤1 求证:f(x)恒为0
设f(x)是定义在实数R上的函数.满足f(0)=1且对任意实数ab都有f(a)-f(a-b)=b(2a-b+1),则f(
已知函数f(x)对任意的实数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.求证:f(1/x)+f(x)=0(x不等于0)
设P,Q,A,B为任意四点,则PA∧2-PB∧2=QA∧2-QB∧2<=>PQ⊥AB
已知非零函数f(x)对任意实数ab均有f(a+b)=f(a)f(b) 解题过程谢谢 求证F(X)>0
f(x)=x⁴,设g(x)=-qf(x)+(2q-1)x²+1,是否存在实数q(q
设f(x)的定义域在实数集R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数ab都有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),
若非零函数f(x)对任意实数a、b均有f(a+b)=f(a)xf(b),且当x1.1、求证f(x)>0