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选修2-1 双曲线过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 12:45:40
选修2-1 双曲线
过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l,垂足为P,l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B.
(1)求证:P在双曲线的右准线上;
(2)求双曲线离心率的取值范围.
(3)若绝对值AP=3绝对值PB,求离心率
选修2-1 双曲线过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线
(1)双曲线右焦占点坐标(c,0),其c^2=a^2+b^2;第一象限渐近线:y=bx/a,其与x轴正向夹角余弦=a/√(a^2+b^2),右准线方程为x=a^2/c;
右焦点与渐近线垂足横坐标x=c*cosθ*cosθ=c*a^2/(a^2+b^2)=a^2/c ,因此P点在渐近线上;
(2)对于双曲线,离心率e=c/a>1
(3)若|AP|=3|PB|,则(Xp-Xa)=3(Xb-Xp),3Xb+Xa=4Xp=4a^2/c;
过右焦点的垂线y=-a(x-c)/b与双曲线交点A、B坐标满足双曲线方程:(x^2/a^2)-[a(x-c)/b]^2/b^2=1;
整理:(b^4-a^4)x^2+2c*a^4*x-(a^4*c^2+a^2*b^4)=0;
该方程的两根分别是Xa、Xb,故有:Xa+Xb=-2ca^4/(b^4-a^4);
所以 3Xb+Xa=2Xb+(Xa+Xb)=2Xb-2ca^4/(b^4-a^4)=4a^2/c;
于是:Xb=2a^2/c+ca^4/(b^4-a^4)=2a^2/c+a^4/[c(b^2-a^2)]=[2(ab)^2-a^4]/[c(b^2-a^2)];
曲线上点B到定点(右焦点)与到定直线(右准线)的距离之比e=c/a>1;
e=[(c-Xb)/cos(arctan(-a/b))]/(Xb-Xp)
={{c-[2(ab)^2-a^4]/[c(b^2-a^2)]}/(-b/c)}/{[2(ab)^2-a^4]/[c(b^2-a^2)]-a^2/c]}
={{(b^4-2a^2*b^2)/[c*(b^2-a^2)]}*(-c/b)}/{[(ab)^2-2a^4]/[c*(b^2-a^2)]}
=[(2a^2*b^2-b^4)*(c/b)]/(a^2b^2-2a^4)
=[b^2*(c/b)]/(a^2)
=(b/a)^2*e(a/b);
从而(b/a)=1;
故 e=c/a=√((a^2+b^2)/a=√(2a^2)/a=√2;