函数单调性证明题x>0时,求证 ln(1+x)>arctanx/(1+x)

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/02 23:51:03

函数单调性证明题
x>0时,求证 ln(1+x)>arctanx/(1+x)

这是函数不等式,常用的方法就是单调性法.
现令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx=(1+x)[ln(1+x)-arctanx/(1+x)],
则原不等式等价于x>0时f(x)>0.
注意到f(0)=0.只需证明f(x)在(0,+∞)上单调增即可.
而f'(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x^2)=ln(1+x)+x^2/(1+x^2),
x>0时ln(1+x)>0,而x^2/(1+x^2)显然大于0,故x>0时,f'(x)>0,f(x)单调增,
因此x>0时f(x)>f(0)=0,即证得原不等式.

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