已知函数 f(x)=2sinx•sin( π 2 +x)-2si n 2 x+1 （x∈R）．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/28 08:06:05

（Ⅰ） f（x）=2sinx•cosx-2sin² x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=
2 sin(2x+
π
4 ) ．…（3分）
故函数f（x）的最小正周期 T=
2π
2 =π ．…（5分）
令 2kπ-
π
2 ≤2x+
π
4 ≤2kπ+
π
2 （k∈Z），…（6分）
可得 2kπ-
3π
4 ≤2x≤2kπ+
π
4 ，
即 kπ-
3π
8 ≤x≤kπ+
π
8 ，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为 [kπ-
3π
8 ， kπ+
π
8 ] （k∈Z）．…（8分）
（Ⅱ）解法一：由已知得 f(
x 0
2 )=sin x 0 +cos x 0 =
2
3 ，…（9分）
两边平方，可得 1+sin2 x 0 =
2
9 ，
所以， sin2 x 0 =-
7
9 ． …（11分）
因为 x 0 ∈(-
π
4 ，
π
4 ) ，所以 2 x 0 ∈(-
π
2 ，
π
2 ) ，
所以， cos2 x 0 =
1- (-
7
9 ) 2 =
4
2
9 ．…（13分）
解法二：因为 x 0 ∈(-
π
4 ，
π
4 ) ，
所以 x 0 +
π
4 ∈(0，
π
2 ) ．…（9分）
又因为 f(
x 0
2 )=
2 sin(2•
x 0
2 +
π
4 )=
2 sin( x 0 +
π
4 )=
2
3 ，
解得 sin( x 0 +
π
4 )=
1
3 ．…（10分）
所以， cos( x 0 +
π
4 )=
1- (
1
3 ) 2 =
2
2
3 ．…（11分）
所以， cos2 x 0 =sin(2 x 0 +
π
2 )=sin[2( x 0 +
π
4 )]=2sin( x 0 +
π
4 )cos( x 0 +
π
4 )
= 2•
1
3 •
2
2
3 =
4
2
9 ．…（13分）

已知函数 f(x)=2sinx•sin( π 2 +x)-2si n 2 x+1 （x∈R）．已知函数f（x）=sinx+sin（x+π2），x∈R．已知函数 f(x)=2cosx•sin(x+ π 3 )- 3 si n 2 x+sinx•cosx ．已知函数 f(x)= 3 sinx•cosx+si n 2 x ．已知函数f(x)=sinx+sin（x+2/3π)(x∈R ) 已知函数f(x)=-sin^2 x+2a sinx+a-1,x∈R 已知函数f(x)=[2sin(x+π/3)+sinx]cosx-√3sin²x,x∈R 已知函数f（x）=2sinx•sin(π2+x)-2sin2x+1（x∈R）．已知函数f(x)=sin(π/2-x)+sinx 已知函数f(x)=sinx+sin(x+π/2) , 已知函数f(x)=2sinx*sin(π/2+x)-2sin^2x+1 （2011•朝阳区二模）已知函数f(x)＝2sinx•sin(π2+x)−2sin2x+1（x∈R）．