搜搜考试网高等数学线性代数问题设n阶实对称矩阵A,满足A^3+A^2+A=3E,证明A是正定矩阵. 我是这样想的：λ^3+λ^2+
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 03:24:04
高等数学线性代数问题
设n阶实对称矩阵A,满足A^3+A^2+A=3E,证明A是正定矩阵.
我是这样想的：λ^3+λ^2+λ=3,λ的三个解,就是A的特征值,如果他们都大于0就行了,可是想想又不对啊,这样的话A只有3个特征值了,而A是n阶的,这样对不上啊
求详解,万分感谢!
设n阶实对称矩阵A,满足A^3+A^2+A=3E,证明A是正定矩阵.
我是这样想的：λ^3+λ^2+λ=3,λ的三个解,就是A的特征值,如果他们都大于0就行了,可是想想又不对啊,这样的话A只有3个特征值了,而A是n阶的,这样对不上啊
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证明: 因为 A^3+A^2+A=3E
所以A的特征值λ满足 λ^3+λ^2+λ-3=0
所以 (λ-1)(λ^2+2λ+3)=0
又因为A是实对称矩阵, 实对称矩阵的特征值都是实数
所以λ=1
即A的特征值为1,1,...,1
故A是正定矩阵.
所以A的特征值λ满足 λ^3+λ^2+λ-3=0
所以 (λ-1)(λ^2+2λ+3)=0
又因为A是实对称矩阵, 实对称矩阵的特征值都是实数
所以λ=1
即A的特征值为1,1,...,1
故A是正定矩阵.
高等数学线性代数问题设n阶实对称矩阵A,满足A^3+A^2+A=3E,证明A是正定矩阵. 我是这样想的：λ^3+λ^2+
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