概率论证明 |P(AB)-P(AC)|

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 09:46:28

概率论证明 |P(AB)-P(AC)|

楼上的P(ABC')=P(A)P(BC') 直接用了AB独立时的公式P(AB)=P(A)P(B) 这显然错误
其实P(AB)-P(A)P(B)的正负是无法判断的,可﹢(如A=B),可 -(如A∩B=空集),可0(AB独立)
证明：(B' 为非B,C'为非C U：取并集 ∩：取交集)
可知：(BC)U(BC')U(B'C')U(B'C)=全集而这四个集合两两交集均为空集
∴由全概公式：P(BC)+P(B'C)+P(BC')+P(B'C')=1 将之代入所证不等式
|P(AB)-P(AC)|≤1-P(BC) P(BC)-1≤P(AB)-P(AC)≤1-P(BC)
只需证两个不等式：①P(AB)-P(AC)≤1-P(BC) ②P(AC)-P(AB)≤1-P(BC)
这两个式子证法一样,只证第一个即可
=》只需证：P(AB)-P(AC)=P(ABC)+P(ABC')-P(ABC)-P(AB'C)≤1-P(BC)=P(B'C)+P(BC')+P(B'C')
【AB=(ABC)U(ABC') 且(ABC)∩(ABC') =空集,所以P(AB)可拆分】
=>只需证：P(ABC')- P(AB'C)≤P(B'C)+P(BC')+P(B'C')
而ABC'包含于BC' =>P(ABC)≤P(BC') ∴上式显然成立,得证

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