高一数学题：关于圆与方程,直线与方程,两直线的垂直与判定的问

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 03:03:43

解题思路：考查直线与圆的综合运用，两条直线垂直的条件，直线系方程
解题过程：
解：由(m+2)x+(2m+1)y=7m+8 得 m(x+2y-7)+(2x+y-8)=0
令 x+2y-7=0，2x+y-8=0得 x=3，y=2
所以，直线(m+2)x+(2m+1)y=7m+8 恒过定点 P(3，2)。
因为于 (3-2)²+(2-3)²=2<4，所以，点P在圆内，因此，直线与圆恒有两个交点。
因为圆心C(2，3)，半径 r=2
当直线被圆所截的弦最短时，圆心到直线的距离最长
因为圆心到直线的距离 d≤CP=根号[(3-2)²+(2-3)²]=根号2，
所以，直线被圆所截的弦最短时，圆心到直线的距离 d=根号2，
此时 CP丄l，由于 kCP=(3-2)/(2-3)=-1，所以 k_l=1
所以-(m+2)/(2m+1)=1 所以m= -1
所以直线l被圆截得的弦长最短时，m= -1

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