高数积分证明题设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点c
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/10 13:48:16
高数积分证明题
设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx
那个积分是上限为a,下限为-a,答得好的绝对加分.
等式左边是a的三次方
设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx
那个积分是上限为a,下限为-a,答得好的绝对加分.
等式左边是a的三次方
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要用到泰勒公式和积分中值定理:
f(x)
=f(0)+f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2
=f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2
对上式在区间[-a,a]上作定积分
∫(a~-a)f(x)dx
=f'(0)∫(a~-a)xdx+∫(a~-a)[f''(θ)/2]x^2dx
到这一步一定要注意:θ是关于x的一个变量
∵x^2在区间[-a,a]上不变号,f''(θ)/2是[-a,a]上有界函数
f''(θ)/2∈[m/2,M/2]
∴利用积分中值定理
→接上面的等号:
=[ξ/2]∫(a~-a)x^2dx【ξ∈[m,M]】
=[f''(c)/2]∫(a~-a)x^2dx
=[f''(c)/2][2a^3/3]
=f''(c)a^3/3
∴在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx
f(x)
=f(0)+f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2
=f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2
对上式在区间[-a,a]上作定积分
∫(a~-a)f(x)dx
=f'(0)∫(a~-a)xdx+∫(a~-a)[f''(θ)/2]x^2dx
到这一步一定要注意:θ是关于x的一个变量
∵x^2在区间[-a,a]上不变号,f''(θ)/2是[-a,a]上有界函数
f''(θ)/2∈[m/2,M/2]
∴利用积分中值定理
→接上面的等号:
=[ξ/2]∫(a~-a)x^2dx【ξ∈[m,M]】
=[f''(c)/2]∫(a~-a)x^2dx
=[f''(c)/2][2a^3/3]
=f''(c)a^3/3
∴在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx
高数积分证明题设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点c
设函数f(x)在(a,b)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,证明:至少存在一点n属于(a,b)
设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a
设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得
设函数F(X)在开区间(0,2a)上连续,且f(0)=f(2a),证明在零到A上至少存在一点X,使f(x)=f(a+x)
设函数f(X)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,a]上存在一点c,使f(C)=f(c+a)
设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+
设函数f(x)在[0,2兀]上连续,且f(0)=f(2兀),证明在[0,兀]上至少存在一点a使f(a)=f(a+兀)
设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明:在(0,a)中至少存在一点ξ,使f(ξ)+ξ
设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明:至少存在一点C∈(0,a),使得f(C)+Cf
中值定理证明题设函数F(X)在[A B]上连续,在(A B)内可导,且F(A)=F(B)=0,试证明(A B)内至少存在
函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明;在[0,a]上至少存在一点使得f(x)=f(x+a)