搜搜考试网已知函数f（x）=lnx+ax．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 03:42:18
已知函数f（x）=lnx+
| a |
| x |
函数f(x)＝lnx+
a
x的定义域为（0，+∞），f′(x)＝
1
x−
a
x2＝
x−a
x2…（1分）
（1）当a≤0时，∴f'（x）≥0故函数在其定义域（0，+∞）上是单调递增的． …（3分）
当a＞0时，函数在（0，a）上是单调递减的，在（a，+∞）上是单调递减的…（5分）
（2）在[1，e]上，分别进行讨论．
①当a＜1时，f'（0）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数f（x）在[1，e]上的最小值是
3
2矛盾，所以不成立．
②当a=1时，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=1，函数f（x）在[1，e]上的最小值是
3
2矛盾，所以不成立．
③当1＜a＜e，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，在（a，e）上有f'（x）＞0，此时喊得单调递增，
所以函数f（x）满足最小值为f（a）=lna+1=
3
2，
解得a=
e．
④当a=e时，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=2，与条件矛盾．
⑤当a＞e时，函数f（x）在[1，e]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=1+
a
e＞2，与条件矛盾．
综上所述，a=
e．
a
x的定义域为（0，+∞），f′(x)＝
1
x−
a
x2＝
x−a
x2…（1分）
（1）当a≤0时，∴f'（x）≥0故函数在其定义域（0，+∞）上是单调递增的． …（3分）
当a＞0时，函数在（0，a）上是单调递减的，在（a，+∞）上是单调递减的…（5分）
（2）在[1，e]上，分别进行讨论．
①当a＜1时，f'（0）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数f（x）在[1，e]上的最小值是
3
2矛盾，所以不成立．
②当a=1时，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=1，函数f（x）在[1，e]上的最小值是
3
2矛盾，所以不成立．
③当1＜a＜e，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，在（a，e）上有f'（x）＞0，此时喊得单调递增，
所以函数f（x）满足最小值为f（a）=lna+1=
3
2，
解得a=
e．
④当a=e时，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=2，与条件矛盾．
⑤当a＞e时，函数f（x）在[1，e]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=1+
a
e＞2，与条件矛盾．
综上所述，a=
e．