一道高三函数题已知函数f(x)=ln^2(1+x)-x^2/(1+x)(1)证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递减(2
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/28 11:09:45
一道高三函数题
已知函数f(x)=ln^2(1+x)-x^2/(1+x)
(1)证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
(2)若不等式(1+1/n)^(n+a)≤e对任意n∈N*都成立,求a的最大值
已知函数f(x)=ln^2(1+x)-x^2/(1+x)
(1)证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
(2)若不等式(1+1/n)^(n+a)≤e对任意n∈N*都成立,求a的最大值
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(1)
求导就行了,高三了你应该会的吧!因为我也是高三的~
(2)
两边取自然对数
(n+a)ln(1+1/n)≤1
由于1+1/n>1 ln(1+1/n)>0
当n+a≤0时
(n+a)ln(1+1/n)≤0≤1
a≤-n对任意的n∈N*都成立
由于-n无最小值
此情况不可能成立
当n+a>0时
ln(1+1/n)≤1/(n+a)
ln(1+1/n)-1/(n+a)≤0
g(n)=ln(1+1/n) - 1/(n+a)
在定义域上单调递减
g(n)≤g(1)=ln2 - 1/(a+1)≤0
a≤1/ln2 - 1
∴a的最大值为1/ln2 - 1
求导就行了,高三了你应该会的吧!因为我也是高三的~
(2)
两边取自然对数
(n+a)ln(1+1/n)≤1
由于1+1/n>1 ln(1+1/n)>0
当n+a≤0时
(n+a)ln(1+1/n)≤0≤1
a≤-n对任意的n∈N*都成立
由于-n无最小值
此情况不可能成立
当n+a>0时
ln(1+1/n)≤1/(n+a)
ln(1+1/n)-1/(n+a)≤0
g(n)=ln(1+1/n) - 1/(n+a)
在定义域上单调递减
g(n)≤g(1)=ln2 - 1/(a+1)≤0
a≤1/ln2 - 1
∴a的最大值为1/ln2 - 1
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