利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/30 16:04:16
利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
![利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.](/uploads/image/z/8424548-44-8.jpg?t=%E5%88%A9%E7%94%A8%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%87%B9%E5%87%B8%E6%80%A7%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%28m%5Em%2Bn%5En%29%5E2%3E4%28%28m%2Bn%29%2F2%29%5E%28m%2Bn%29%29%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADm%3E0%2Cn%3E0.)
构造函数f(t)=t^t (t>0),易得
f"(t)=t^t·(lnt+1)²+t^(t-1)·(t+1)>0,
∴f(t)=t^t (t>0)是下凸函数.
故依Jensen不等式,可得
f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]
→m^m+n^n≥2[(m+n)/2]^[(m+n)/2].
上式两边平方,即得
(m^m+n^n)^2≥4[(m+n)/2]^(m+n).
显然,m=n时,上式取等.
故原不等式得证.
f"(t)=t^t·(lnt+1)²+t^(t-1)·(t+1)>0,
∴f(t)=t^t (t>0)是下凸函数.
故依Jensen不等式,可得
f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]
→m^m+n^n≥2[(m+n)/2]^[(m+n)/2].
上式两边平方,即得
(m^m+n^n)^2≥4[(m+n)/2]^(m+n).
显然,m=n时,上式取等.
故原不等式得证.
利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
m(m+n)(m-n)-m(m+n)的平方,其中m+n=1,mn=-1/2
3m(m-n)-2n(m-n)的平方
证明(m+n)²/2+(m+n)/4≥(m√n)+(n√m)
[(m+n)(m-n)-(m-n)²+2n(m-n)]÷4n
先化简,在求值(m+n)(m-n)(-m^2-n^2)-(-2m+n)(-2m-n)(4m^2+n^2) 其中m=1,n
m-n+2n^2/(m+n)
(m-n)^2 +n(n- m)
(m-n)+2n(m-n)
如果关于x的不等式(2m-n)x+m-5n>0 (n
如果m,n是任意给定的正整数(m>n),证明:m+n、2mn、m-n是勾股数
[(m-n)^2*(m-n)^3]^2/(m-n)^4